左右矢記號（bra-ket notation）
/ brah-ket; Dirac = dih-RAK /
左右矢記號（bra-ket notation）是狄拉克為量子態及其上運算所設計、優美而緊湊的記帳法。它的巧思是一個視覺雙關：以角括號寫成一個 bracket 的內積 <phi|psi>，被劈成左半的 bra，<phi|，與右半的 ket，|psi>。一旦你學會讀這些符號，整套計算幾乎變得自動化。
一個右矢 |psi> 是希爾伯特空間中的向量。一個左矢 <phi| 是對偶空間的成員——把它想成列向量，或想成一台「吃進一個右矢、吐出一個數」的機器。它們的配對 <phi|psi> 就是那個數，即複數內積，也就是餵給波恩定則的那個幅。算符往右作用，A|psi>，而矩陣元是 <phi|A|psi>。外積 |psi><phi| 本身是一個算符（例如投影算符 |n><n|），而正交歸一的基底態滿足完備性關係：對 n 求和的 |n><n| = I（單位算符），這是在計算中隨處插入一組基底的主力工具。
回報是這套記號與表象無關：同一個 |psi> 可以在位置基底下看，其分量為 <x|psi> = psi(x)，也可以在動量基底下看，其中 <p|psi> 是動量空間波函數。換基底不過就是選擇要用哪一組完備的右矢來展開，|psi> = sum c_n |n>，係數 c_n = <n|psi>。你用抽象向量去計算，只有在真的需要數字時才投影到某個具體表象上。
把一個態在正交歸一的能量基底下展開，|psi> = sum_n c_n |n>，其中 c_n = <n|psi>，並利用正交歸一 <n|m> = delta_nm，立刻得到能量 E_n 的波恩機率為 |c_n|^2 = |<n|psi>|^2。
插入一組完備基底、讀出機率：整套形式論化為符號推演。
右矢住在希爾伯特空間，左矢住在其對偶空間；把兩者混為一談（或忘記左矢是其右矢的共軛轉置）是初學者的經典失誤。