邊界積分方程（boundary-integral equation）

解一個區域內部的 PDE 通常意味著要在整個內部找出未知量——填滿一整個體積的大量未知數。邊界積分方程用一個巧妙的觀察把它翻轉過來：對拉普拉斯這類齊次方程，內部的解完全由邊界上的資料決定，那何不把整個問題重述成一個只活在邊界曲面上的方程？你降一個維度——在皮上解、而非在體內解——之後再用一個積分把內部還原回來。

工具是層位勢，由基本解 E 建成。單層位勢把密度 sigma 像一片電荷那樣鋪在邊界上：u(x) = integral over boundary of E(x - y) sigma(y) dS(y)。雙層位勢把密度 mu 像一片偶極那樣鋪開，用的是 E 的法向導數：u(x) = integral over boundary of (dE/dn_y)(x - y) mu(y) dS(y)。每一個都自動在內部解拉普拉斯方程（它是源在邊界上的基本解的疊加，因此在內部調和）。為了匹配狄利克雷或諾伊曼邊界條件，你讓 x 趨近邊界並要求位勢等於給定的資料。因為層位勢在穿越邊界時有特定的跳躍關係，這就產生一個關於未知密度 sigma 或 mu、定義在曲面上的積分方程——一個第二類弗雷德霍姆積分方程，其可解性由弗雷德霍姆二擇一支配。

為何吸引人：降一個維度是巨大的節省，而對外部問題（繞過障礙物的流動、自物體散射），即使定義域無限，邊界卻是有限的，所以這方法天然地處理無界區域，正確的衰減已內建在 E 裡。這是工程中邊界元素法的解析基礎。誠實的提醒：所得積分方程有需要小心處理的奇異核；跳躍關係與該用哪種層取決於邊界條件；而單層、雙層或其組合之選擇，會影響方程是否在每個頻率都唯一可解（對亥姆霍茲方程這是個真實的問題）。