貝祖定理（Bezout's theorem）
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兩條曲線最多能相交幾次？兩條直線交於一點。一條直線與一個圓交於兩點（或看似錯過，或只是相切）。兩個橢圓最多可交於四點。這裡藏著一個美麗的規律，而貝祖定理把它精確地說出來：兩條次數分別為 m 與 n 的代數曲線恰好交於 m 乘 n 個點——不多，而且若正確計數，也不少。直線（一次）與圓錐曲線（二次）：1 乘 2 = 2 點。兩條圓錐曲線：2 乘 2 = 4 點。交點數正是兩次數的乘積。
玄機就藏在「正確計數」這幾個誠實的字裡，因為這個乾淨的敘述只有在你解決三個現實中的惱人問題後才成立。第一，要在複數上、而非只在實數上運作：一條看似錯過圓的直線，其實仍與它交於兩個複數點。第二，要在射影平面中運作，加入無窮遠點：兩條「永不相交」的平行線確實會相交——交於單一個無窮遠點，從而恢復 1 乘 1 = 1。第三，要帶重數計算交點：當一條直線與圓相切時，它在一個可見點觸碰，但那點要算兩次，因為兩個交點已合而為一。把這三項約定都備齊後，交點數恰好是 m 乘 n，毫無任何例外。
貝祖定理是代數幾何如何馴服相交——把它化為次數的算術——的範本，並可推廣到曲面與更高維。它也一舉解釋了熟悉的事實：一條二次式（二次）與 x 軸（一次）交於 2 點，這正是為什麼一個二次式在複數上帶重數恰有 2 個根。常見的誤讀是在實數上套用這個簡單乘積，然後在一條直線「錯過」一個圓時覺得被騙了。其實什麼問題都沒有——失蹤的那兩點是複數，而這定理從來就不是關於可見實交點的承諾。
取圓 x^2 + y^2 = 1 與直線 y = 1，後者在頂端與圓相切。代入：x^2 + 1 = 1，故 x^2 = 0。可見的點只有一個 (0, 1)，但方程式 x^2 = 0 在 x = 0 處有一個重根，所以它算作 2 個交點。二次乘一次 = 2，正如貝祖所承諾——相切把第二個點藏進了重數之中。
相切是兩個合而為一的交點；重數讓計數誠實無誤。
乘積 m 乘 n 是上限，也只有在三項約定（複數、射影、帶重數）下才是精確值。捨棄其中任一項，這個數目在實數上都可能不足——那不是定理失靈，而是在提醒它的前提。