代數簇（algebraic variety）

如果單一個多項式方程式在平面上切出一條曲線，那麼多個變數中的好幾條方程式一起，會給出什麼？代數簇就是答案：它是空間（任意維數）中同時滿足一整組多項式方程式的所有點所成的集合。直線、圓、球面（x^2 + y^2 + z^2 = 1）、兩條方程式同時成立的曲面——每一個都是代數簇。它是代數曲線往高維、多方程式的推廣，也是代數幾何的核心對象。

具體地說，取變數 x_1, ..., x_n 中的多項式 f_1, f_2, ..., f_k。它們定義的簇是所有同時滿足 f_1 = 0 且 f_2 = 0 且 ... 且 f_k = 0 的點 (x_1, ..., x_n)——即共同零集，是各方程式解集的交集。在三維中一條方程式通常給出一個曲面（二維的簇）；再加一條獨立方程式，解集通常降為一條曲線（一維）；第三條可把它釘成孤立的點（零維）。所以一個簇的「維數」大致就是方程式約束完之後剩下的自由座標個數。如同曲線，若一個簇不是兩個更小的簇的聯集，便稱它為「不可約」，而不可約者正是真正的基本構件。

代數簇是幾何與代數融合之處：每個幾何問題（這些形狀相交嗎？如何相交？以何種重數相交？）都化為關於多項式的代數問題，反之亦然——這部字典在二十世紀經由理想、環、乃至概形而被精確化。它驅動了從機器人運動規劃（機械手臂的位形構成一個簇）到物理與編碼理論的種種應用。一個誠實的細微之處：不同作者對「簇」的用法略有不同——有人要求不可約，有人只在複數上運作，有人允許更一般的「概形」。但共通的核心始終如一：多項式方程組的解，以幾何的眼光來看。