卡爾曼濾波器

卡爾曼濾波器是線性高斯狀態空間模型的精確遞迴貝葉斯估計器：狀態依 x_t = A x_{t-1} + w_t 演化，過程雜訊 w ~ N(0, W)；觀測為 y_t = C x_t + q_t，量測雜訊 q ~ N(0, Q)。由於高斯經線性映射仍為高斯，後驗可完全以均值與共變異數描述，並以封閉形式更新。每一步執行一次預測（x_pred = A x_est，P_pred = A P A^T + W）以及一次校正，後者透過卡爾曼增益將預測與新量測混合。

在運動 BCI 中，狀態 x 為運動學意圖（常為位置與速度再加一常數項），A 編碼平滑性／慣性先驗，C 是把運動學映射到各通道放電率的線性化調諧矩陣，Q 則涵蓋神經雜訊與未建模的變異。當模型正確時，此濾波器在最小均方誤差意義下為最佳；值得注意的是，即使雜訊非高斯，它仍是最佳的線性估計器。其實用優勢在於具生理可解釋性的先驗、對不確定性的原則性處理，以及適合即時迴路的常數時間廉價更新。

主要的但書是：其保證僅在線性高斯假設以及所擬合之 A、C、W、Q 成立的範圍內有效。神經調諧並非真正線性、雜訊並非平穩，且通道逐日漂移，故濾波器可能出現偏差或過度自信；在閉迴路中，這些誤差會與使用者交互作用，因而催生了意圖校正與自適應等變體。