基本機率方法（the basic probabilistic method）
機率方法是由 Paul Erdos 開創的非建構式證明技巧，用來證明具有指定性質的組合物件存在。它所化解的弔詭是：有時我們想證明某個具特定性質的物件存在，卻完全不知道如何明確地構造一個。此方法完全繞過構造的步驟。我們不去建造物件，而是建立一個由候選物件組成的機率空間，並證明隨機選取的候選物件以正機率具有所求性質。若某性質的機率嚴格大於零，則樣本空間中必至少有一個物件具有該性質——因為機率為零的事件恰好是其中沒有任何結果發生的那些結果之聯集。
基本形式一旦陳述出來幾乎平凡得簡單，這正是它如此強大的原因。設 Omega 為一個有限（或一般的）機率空間，其元素即為我們感興趣的物件。假設我們想要一個滿足性質 A 的物件。我們依某分布隨機選取物件並計算 P(A)。若 P(A) > 0，則滿足 A 的物件存在。等價地，在互補形式中，若我們能證明 P(沒有物件具該性質) = P(壞事件之聯集) < 1，則以正機率所有壞事件都被避開，因此存在好物件。整個技藝在於選對隨機模型並界定機率——最簡單的論證中通常用聯集界 P(B_i 之聯集) <= sum P(B_i)。
其革命性在於它把離散數學中的存在性問題轉化為機率計算，往往給出遠優於任何已知明確構造的界。Erdos 在 1947 年對 Ramsey 數的下界是奠基性的例子：當 n 低於約 2^(k/2) 的門檻時，完全圖 K_n 邊的隨機二著色以正機率避開大小為 k 的單色團，兩行內便證明了 R(k,k) > 2^(k/2)，這個界在其後超過半世紀裡明確構造都無法匹敵。誠實的提醒是：此方法證明存在卻不展示見證者；把機率性的存在證明轉成有效率的演算法（去隨機化）是另一個獨立且常常困難的問題。
競賽圖與性質 S_k：競賽圖是完全圖的一個定向（每對都比賽，一方勝另一方）。我們宣稱對每個 k 都存在一個競賽圖，使得對任意 k 名選手所成的集合，都有某位選手勝過他們全部。取 n 名選手上的隨機競賽圖（每條邊用公平硬幣定向）。對固定的 k 元集，沒有任何其他單一選手勝過他們全部的機率為 (1 - 2^(-k))^(n-k)；對所有 k 元集取聯集得壞 k 元集的期望個數至多為 C(n,k)(1 - 2^(-k))^(n-k)，當 n 夠大時此值小於 1。因此具性質 S_k 的競賽圖存在，無需任何明確構造。
正機率（或期望個數小於 1）強制存在性——論證從不指明該物件。
此方法證明存在，而非唯一性或豐富性，也不給出明確見證者；要找到與機率界相當的「去隨機化」構造，可能遠比存在性證明本身困難。