平行角（angle of parallelism）
在歐氏平面中，距離與角度互不相干：一個給定的長度對任何角度都說不出絕對的話。平行角則是一個驚人的事實：在雙曲幾何中兩者被焊在一起。從點 P 向直線 L 垂下一條長為 p 的垂線。現在從 P 朝 L 擺動一條射線。夠陡的射線會碰到 L；太平的射線則完全錯過；而恰有一條臨界射線剛好碰不到 L——即極限平行線。這條臨界射線與垂線所夾的角就是平行角，記為 Pi(p)。它只依賴距離 p。
具體而言，Pi(p) 永遠是銳角（嚴格小於 90 度），且隨 p 增大而縮小。當 P 非常靠近 L（p 很小）時，Pi(p) 略小於 90 度，圖像近乎歐氏——極限平行線幾乎與垂線成直角。當 P 遠離 L（p 很大）時，Pi(p) 趨向 0 度：臨界射線沿著垂線陡傾，不相交方向的扇面大大張開。羅巴切夫斯基的精確公式為 tan(Pi(p) / 2) = e^(-p/k)，其中 k 是平面的曲率常數；唯有在不可及的歐氏極限（k -> 無窮大）時，Pi(p) 才對每個 p 都鎖在 90 度。
它為何重要：這單一函數是雙曲幾何的量化核心。因為 Pi(p) 僅由 p 決定，長度便獲得絕對意義——你可以純粹用它所產生的角度來指明某個特定長度，毫無任意尺規可言。這在歐氏中不可能，因為那裡可以自由地把一切縮放，而這也正是雙曲平面中「相似但不相等的三角形」無法存在的深層原因。
設曲率常數 k = 1。在離直線 p = 1 處，tan(Pi/2) = e^(-1) = 0.368，故 Pi(1) = 2 arctan(0.368) 約 40.4 度。在 p = 2 處，e^(-2) = 0.135 給出 Pi(2) 約 15.4 度。距離加倍，平行角縮減超過一半——你離一條線愈遠，它的平行線傾斜得愈陡。
「剛好錯過」的臨界射線與垂線成 Pi(p) 角；它只依距離而定，並隨遠離而趨向 0。
在歐氏中平行角對每個距離都是固定的 90 度，所以那裡從不教這種關係。它隨距離變化是雙曲幾何獨有的，歐氏中沒有對應物。