艾里函數的漸近（asymptotics of the Airy function）
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艾里函數 Ai(x) 是恰好住在振盪與衰減交界上的最簡單函數。它解微分方程 y'' = x y，並出現在任何波遇上轉折點之處——彩虹的邊緣、光線聚焦的焦散、量子力學中振盪波讓位給指數尾巴的古典禁區邊界。對大的正 x 它平滑衰減到零；對大的負 x 它以緩慢拉長的波長振盪。理解它如何過渡，是檢驗漸近方法的一個漂亮的案例。
從積分表示 Ai(x) = (1 / (2 pi)) 乘（沿某圍道對 e^(i(t^3/3 + x t)) dt 的積分）出發，它是 x 的解析函數。對大的正 x，把圍道形變過 phi(t) = t^3/3 + x t 的複鞍點——此處鞍點在 t = 正負 i 乘 (x 的平方根)，純虛，故最速下降法給出實的指數衰減：Ai(x) 約等於 e^(-(2/3) x^(3/2)) / (2 (pi 的平方根) x^(1/4))。對大的負 x，兩個鞍點變為實的並以一對共軛複數的形式貢獻，故駐相法給出振盪：Ai(x) 約等於 sin((2/3) |x|^(3/2) + pi/4) / ((pi 的平方根) |x|^(1/4))。在 x = 0 處兩鞍點相撞的過渡，正是較簡單公式無法處理的退化鞍點情形。
這單一函數是兩個深刻想法的典範例證。第一，它是光滑折疊焦散附近與量子轉折點附近的通用局部模型——凡是最速下降法的兩個鞍點合併之處，艾里函數便作為平滑連接振盪與衰減區域的一致近似而出現。第二，它是斯托克斯現象的教科書範例：同一函數在複 x 平面的不同扇形中有不同的有效漸近展開，而那個微小、指數級次主導的項在特殊射線（斯托克斯線）兩側開關切換。一個單值解析函數竟能在不同方向穿不同的漸近衣裳，這是漸近分析微妙而誠實的真相之一。
在量子粒子撞上光滑位壘的 WKB 處理中，波函數在容許側振盪、在禁區側衰減；這兩塊本會在轉折點處衝突，但艾里函數恰好把它們縫合在一起，而它在兩側的已知漸近便提供了 WKB 的連接公式。
Ai(x)：x > 0 時指數衰減、x < 0 時拉長的振盪，在轉折點處相接。
樸素的鞍點公式在 x = 0 處爆炸（兩鞍點重合）；那裡真正一致的答案正是艾里函數本身，這恰恰是它之所以成為標準模型、而非可化約為初等指數之物的原因。