計數的加法原理

想像你想吃點心，廚房裡有 4 種水果和 3 種餅乾，而你只會挑一樣。你有幾種選擇？你不是接連做兩個步驟，而是在兩堆東西之間二選一。答案就是 4 + 3 = 7。這就是加法原理：當你把計數拆成彼此不重疊的情況時，就把各情況加起來。

正式地說，如果一件事可以用幾種互斥的方式之一完成——比如情況 A 有 m 種做法、情況 B 有 n 種做法，而且沒有任何一個結果同時屬於 A 和 B——那麼總做法數就是 m + n。「互斥」是關鍵字：這些情況不能共用任何結果，否則就會把同一個東西算兩次。乾淨的用法是把問題切成彼此不重疊的桶子，分別計數再相加。例如，兩位數中偶數有 45 個、奇數有 45 個，相加就得到全部 90 個兩位數，因為沒有一個數同時是偶數又是奇數。

如果各情況「可能」重疊，單純相加就會把共同的部分多算，必須再減回去：|A 或 B| = |A| + |B| - |A 且 B|。這個修正正是排容原理的起點。所以簡單形式的加法原理，其實就是重疊為空的排容原理特例。配上乘法原理，加法讓你幾乎能拆解任何計數問題：在一連串步驟內相乘，在彼此分離的情況間相加。