先驗與後驗誤差估計

這是說明數值誤差有多大的兩種互補方式。先驗誤差估計是事前、僅憑理論推出的，在執行計算之前（或不執行計算）：它用已知量如步長 h、問題的光滑性、或條件數來界定誤差——例如「梯形法則的誤差至多為 (b-a) h^2 max|f''| / 12」。後驗誤差估計是事後、從實際算出的解及其殘差算出的，告訴你這個特定答案最後有多好。

權衡在於理論對上實用。先驗界令人安心並揭示方法的階（它顯示誤差是 O(h^2)，故你知道把 h 減半有四倍幫助），但它常很寬鬆，且可能需要你沒有的量，如 max|f''| 或真解。後驗估計很銳利，並使用真實、可得的資料：算出之解的殘差 r = b - A x~、或兩個網格上解的差、或對局部誤差的細網格估計。它是自適應方法的基礎——自適應求積、自適應步長、自適應網格加密——演算法邊走邊量自己的誤差，只在後驗估計大的地方加密。

兩者都重要，好的做法是並用。先驗分析選擇方法並解釋它為何該收斂；後驗估計認證你實際得到的答案，並引導該在何處多花力氣。一個值得記住的告誡：後驗殘差很小，本身並不保證向前誤差很小——在病態問題上，微小的殘差可能藏著解中很大的誤差，因為殘差與誤差透過條件數相連。