物理学 1916

论按照爱因斯坦理论的质点引力场

卡尔·史瓦西

爱因斯坦方程的第一个精确解——以及时空被撕裂的那个半径。

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In depth · the introduction

拿任何一个物体，把它压得足够小，爱因斯坦的方程便说：时空会像一道活板门那样在它周围合拢——而史瓦西，恰恰找出了那道活板门的所在。

核心想法

1915 年年末，爱因斯坦完成了广义相对论：引力不是一种力，而是质量周围时空的弯曲。可他的方程艰深得吓人，他自己也只能近似地去解。史瓦西却为最简单的情形求出了精确解——一个浑圆、静止的质量（譬如一颗理想化的恒星）周围的空旷空间。

从这个答案里，掉出了一个与质量相系的数，今天我们称之为史瓦西半径。对大多数物体而言，它小得微不足道、什么也不意味着：太阳的史瓦西半径约为 3 千米，深埋在太阳内部。但它标记着一道门槛。倘若你能把一个质量压进这个半径之内，时空的弯曲便会变得彻底：连光都再爬不回来。那个表面——那个有去无回的临界点——正是我们今天所称的事件视界，也就是黑洞的边缘。

它是如何诞生的

这个时间点，几乎令人难以置信。爱因斯坦于 1915 年 11 月向柏林科学院呈交了他最终的场方程。到了 12 月，卡尔·史瓦西——波茨坦天文台台长，但在那一刻，却是一位 42 岁、在第一次世界大战俄国前线服役的炮兵军官——已经读到了它，并在计算炮弹弹道的勤务之余，推出了那个精确解。

他把它寄给了爱因斯坦，后者大为惊讶，并于 1916 年 1 月代史瓦西向科学院宣读。「我没有料到，这个问题的精确解竟能表述得如此简单，」爱因斯坦回信道。其时史瓦西已身患在前线感染的一种自身免疫疾病、病势沉重。他又寄出了第二篇论文，随后因病被遣送回国，并于 1916 年 5 月辞世。他从未知道，他方程里那个奇异的半径，日后会成为物理学中最著名的对象之一。

它为何重要

这是爱因斯坦理论第一个精确、完整的解——它证明了：这门新物理产生的，不只是对牛顿的修正，而是一套干净、可算的几何。它精确地钉死了水星的轨道，也成了相对论一切预言的试验场：光线偏折、引力中时间变慢、轨道的精确路径。

而藏在它内部的，是连史瓦西和爱因斯坦都不相信真实存在的东西——黑洞。有半个世纪之久，大多数物理学家都把那道视界当成一个数学上的小毛病。直到很久以后，人们才发现它描述的是宇宙中真实的对象：那些恒星坍缩得如此之深、以至于消失在自身的史瓦西半径之后的地方。

一个可以想象的画面

想象一条流向瀑布的河里有个游泳者，河水越近边缘流得越急。在上游很远处，水流是平缓的；游泳者总能掉转身，奋力游回岸边。可在某一处，有一条线，河水终于流得比游泳者所能游的还快。一旦越过它，无论你多么拼命，都会被冲下瀑布。一个沉重质量附近的时空，就像那股水流一样向内流淌，而事件视界，正是那条线——在那里，「快得足以逃脱」将意味着比光还快，而那是任何东西都做不到的。

它的位置

史瓦西的解，是爱因斯坦广义相对论的头生子，也是一切黑洞科学的母体。牛顿曾把引力解释为一种穿越空旷空间拉扯的力；爱因斯坦把它重铸为弯曲的几何；史瓦西则给了这几何第一张精确的面孔。从这里，故事向前奔流：流向罗伊·克尔于 1963 年描述的旋转黑洞，流向 LIGO 于 2015 年捕获为引力波的那些时空涟漪，也流向 2019 年那第一张黑洞阴影的照片。而这一切，每一桩，都始于他在东线找到的那个半径。

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§1——爱因斯坦提出的问题

K. Schwarzschild · Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math.-Phys.) 1916: 189–196 · communicated January 13th, 1916

In his work on the motion of the perihelion of Mercury (see Sitzungsberichte of November 18th, 1915) Mr. Einstein has posed the following problem:

Let a point move according to the prescription δ∫ds = 0, where ds = √(Σ g_µν dx_µ dx_ν), µ, ν = 1, 2, 3, 4 … In short, the point shall move along a geodesic line in the manifold characterised by the line element ds.

§1——对引力场的四个条件

Let x1, x2, x3 stand for rectangular co-ordinates, x4 for the time; furthermore, the mass at the origin shall not change with time, and the motion at infinity shall be rectilinear and uniform. Then … the following conditions must be fulfilled too:

1. All the components are independent of the time x4.

2. The equations g_ρ4 = g_4ρ = 0 hold exactly for ρ = 1, 2, 3.

3. The solution is spatially symmetric with respect to the origin of the co-ordinate system in the sense that one finds again the same solution when x1, x2, x3 are subjected to an orthogonal transformation (rotation).

4. The g_µν vanish at infinity, with the exception of the following four limits different from zero: g44 = 1, g11 = g22 = g33 = −1.

§4——精确的线元

When one introduces these values of the functions f in the expression (9) of the line element and goes back to the usual polar co-ordinates one gets the line element that forms the exact solution of Einstein's problem:

ds² = (1 − α/R) dt² − dR² / (1 − α/R) − R² (dϑ² + sin²ϑ dφ²), R = (r³ + α³)^(1/3). (14)

The latter contains only the constant α that depends on the value of the mass at the origin.

§4–§6——撕裂之处、关联 ρ = α³，以及轨道

Therefore all the conditions are satisfied apart from the condition of continuity. f1 will be discontinuous when 1 = α(3x1 + ρ)^(−1/3), 3x1 = α³ − ρ. In order that this discontinuity coincides with the origin, it must be ρ = α³. Therefore the condition of continuity relates in this way the two integration constants ρ and α.

[ … ]

For an ideal mass point, however, it follows that the angular velocity does not, as with Newton's law, grow without limit when the radius of the orbit gets smaller and smaller, but it approaches a determined limit n0 = 1 / (α√2). (For a point with the solar mass the limit frequency will be around 10⁴ per second.)

Communicated to the Prussian Academy of Sciences, Berlin · January 13, 1916