物理学 1926

量子化作为本征值问题

埃尔温·薛定谔

原子里的电子是一道驻波——量子数，不过是装进去的半波数目。

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In depth · the introduction

把一道波关进一只盒子，就只有某些形状装得进去——量子物理里那个「量子」，正是从这一个事实来的。

核心想法

到 1926 年，物理学家知道原子很古怪：一个电子只能待在某些能量上，并在它们之间「跳跃」，可没人知道为什么。薛定谔的答案，是不再把电子想成一颗小球，而开始把它想成一道波。而波，一旦被你圈起来，就变得挑剔——一根两端固定的吉他弦，只能以整数个「环」振动：一个环、两个、三个，永远不会是两个半。

他的方程，对电子做的正是同一件事。把它关进一个原子里，就只有某些波形「装得进去」。每一种装得进去的波形，都有它自己的能量，于是被允许的能量，自动地成了一组离散的值。那些神秘的量子数，原来不过是：这道波有几个环。整数从来不是用手放进去的；它们，是把一道波装进一个空间时，自己掉出来的。

它是如何诞生的

这个想法有一颗火种。1924 年，年轻的法国物理学家路易·德布罗意提出，物质也像光一样，有一个波长。爱因斯坦把它当真了，薛定谔也是——他在 1925 至 1926 年的圣诞假期，于瑞士的一处阿尔卑斯山间度假地，推导出了那个将以他命名的波动方程。几个月内，他就解出了氢原子，并发表了一连串论文。

他并不孤单。早一年，维尔纳·海森堡，与马克斯·玻恩、帕斯库尔·约尔旦一起，造出了一套对手的「矩阵力学」，靠摆弄一排排数字得到同样的答案——抽象，而且在许多人看来并不可爱。薛定谔的波，则显得可视而亲切，物理学家纷纷投奔；他随后证明了这两套理论其实是同一回事。但这份安慰是误导人的：玻恩指出，那道波并不告诉你电子在哪里，只告诉你在那里找到它的概率。薛定谔厌恶这一点，以至于 1935 年想出了他那只著名的猫来嘲讽它。

它为何重要

这个方程，简单说，就是我们如何计算原子的世界。每一根化学键、每一个分子的形状，氖为何发红光、钠为何发黄光，半导体如何导电，激光如何工作——所有这些，在底层，都是薛定谔方程的一个解。它把化学从一本配方目录，变成了某种你可以计算的东西，并在一个世纪之后，仍是物理学家与化学家每天的工具。

一个可以想象的画面

想象一根吉他弦。拨动它，它只能唱出某些音——一个基音，和它的泛音——因为两个固定端之间，只装得下整数个半波。你不可能有半个环；弦不答应。薛定谔的洞见是：困在原子里的电子，就和那根弦一样。它的「音」，就是那些被允许的能级，而量子数，就是泛音的编号。原子之所以有一组离散的能量，与一根弦之所以有一组离散的音高，是同一个道理。

它的位置

普朗克（1900）与爱因斯坦（1905）已表明，光是一份份的；玻尔（1913）猜到原子有固定的能级，却说不出为什么。薛定谔与海森堡补上了这个「为什么」，正式奠定了量子力学。这条线继续向前，通往为它加上相对论、并预言反物质的狄拉克，通往晶体管与激光——而同一个方程，如今又托着量子计算机的量子比特。在本馆里，它正坐落在普朗克的量子，与希格斯、引力波这些现代物理之间。

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E. Schrödinger · Annalen der Physik 79 (1926): 361–376 · received 27 January 1926

Part I — replacing the quantum conditions

Schrödinger opens by proposing to drop the old, hand-imposed rule that certain quantities must come in whole multiples of a quantum, and to replace it with a single requirement: that a field quantity ψ be finite, single-valued and continuous everywhere. From that one demand, the discreteness falls out by itself.

In this paper, I wish to consider, first, the simple case of the hydrogen atom (nonrelativistic and unperturbed), and show that the customary quantum conditions can be replaced by another postulate, in which the concept of ‘whole numbers’, merely as such, is not introduced. Rather, when integralness does appear, it arises in the same natural way as it does in the case of node-numbers of a vibrating string.

He then writes a wave equation for the hydrogen electron — in modern symbols, ∇²ψ + (2m/ħ²)(E + e²/r)ψ = 0 — and asks for which energies E a well-behaved ψ exists. The answer is only the discrete set Eₙ = −me⁴/2ħ²n² = −13.6 eV / n²: precisely Bohr's spectrum, now recovered with no extra quantum hypothesis.

Parts II–IV (1926)

Across three further communications that same year, Schrödinger built out the theory: the optical–mechanical analogy that motivates the equation (II), a perturbation method that delivered the Stark effect (III), and the time-dependent equation iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ together with a first reading of what ψ might physically mean (IV). In a separate 1926 paper he proved his wave mechanics and Heisenberg's matrix mechanics are mathematically equivalent.

Zürich · 1926