数学 1859

论小于给定数值的素数个数

波恩哈德·黎曼

黎曼把散落的素数，系于一个复变函数的零点之上——并留下了数学中最著名的未解难题。

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In depth · the introduction

素数沿着数轴看似散落随机——可藏在它们之中的，却是一段旋律，写在一个神秘的函数里。

核心想法

素数——2、3、5、7、11……——是算术的原子，可它们出现得毫无明显规律。黎曼找到了一种度量这种规律的办法。他研究一个今天称作黎曼 ζ 函数的函数，并发现：它取值为零的那些地方，暗中支配着素数如何铺展。

更妙的是，他写下了一份精确的配方：一条平滑曲线，紧紧追踪「任一数值以内有多少素数」，再加上一组细密的「波」，来交代每一处颤动。这些波的频率，恰恰就是他那个函数的零点。然后，便是那个著名的猜想——黎曼猜想——断言：所有这些特殊的零点，都完美地排在同一条直线上。至今无人能证明它。

它是如何诞生的

波恩哈德·黎曼是哥廷根一位羞怯而多病的天才，是伟大的高斯的学生。1859 年，刚当选柏林科学院通讯院士的他，以一篇论文回报这份荣誉——仅仅九页，是他一生中唯一发表的关于素数的文字。在其中，他随手抛出的念头远远超前于时代，数学家至今仍在一点点把它们解开。

对于那处空白，他很诚实。就在陈述完自己的猜想之后，他便坦言：曾几次短暂地试着证明，未果，于是把它搁在一边，认为眼下并非必需。他三十九岁便去世，证明依旧缺席。直到数十年后，人们才发现：他私人的笔记里，藏着远比那篇谦逊论文所流露的更深的计算。

它为何重要

黎曼把一个关于整数的问题，变成了一个关于平面上某个平滑函数的问题——而正是这一「翻译」，打开了一切。它解释了「数素数」的那条粗略规则为何管用，钉死了误差的大小，并为整整一门数学分支定下了纲领。这条猜想本身，则成了这一领域最著名的未解难题，谁能了结它，便有百万美元的奖金在等着。

一个可以想象的画面

想象一道参差不齐的阶梯，每经过一个素数，就上一级台阶。从远处看，这道阶梯像一条平滑上升的坡道——那条坡道，就是黎曼的 Li(x)。可凑近了看，台阶有的高出坡道、有的低于坡道。黎曼证明：这些抖动，是一组纯净乐音之和，而每个乐音的音高，由他那个函数的一个零点决定。猜想说的是：所有这些乐音都完美合调——没有哪一个比它应有的更响。换句话说，素数奏着某种音乐，而黎曼，写下了那份乐谱。

它的位置

黎曼站在欧拉的肩上——两个世纪前，是欧拉第一个把素数系于这个和式；也站在高斯的肩上——是高斯少年时猜出了那条计数定律。他那套复分析的工具，生自十九世纪同一场绽放，而那场绽放也给了我们傅里叶的波（1822）——事实上，黎曼的素数，正如傅里叶的信号，最终都化作了波之和。他这条猜想的「未证」之身，与这座图书馆里一项更晚的发现遥相呼应：哥德尔的不完备定理（1931）表明，有些为真的命题，也许永远在证明之外——尽管黎曼猜想究竟只是难、还是当真不可证，无人知晓。

The original document

Original source text

Bernhard Riemann · «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse» · Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin · November 1859

The opening

Riemann frames the paper as a gift of thanks for his election to the Berlin Academy: he will repay the honour by communicating an investigation into the frequency of the primes — a subject, he notes, that Gauss and Dirichlet had long found worthy of attention.

Meinen Dank für die Auszeichnung, welche mir die Akademie durch die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden lassen, glaube ich am besten dadurch zu erkennen zu geben, dass ich von der hierdurch erhaltenen Erlaubniss baldigst Gebrauch mache durch Mittheilung einer Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen; ein Gegenstand, welcher durch das Interesse, welches Gauss und Dirichlet demselben längere Zeit geschenkt haben, einer solchen Mittheilung vielleicht nicht ganz unwerth erscheint.

The zeta function and its continuation

He begins from Euler's identity — the sum of 1/n^s over all integers equals the product of 1/(1 − p^−s) over all primes p — and takes the bold step of letting the variable s be complex. The series converges only when the real part of s exceeds 1, but Riemann continues the function ζ(s) analytically across the entire complex plane, where it is everywhere finite except for a single simple pole at s = 1.

The functional equation and the zeros

He proves a functional equation: the completed function ξ(s) = π^(−s/2) Γ(s/2) ζ(s) satisfies ξ(s) = ξ(1 − s), a mirror symmetry about the vertical line where the real part of s equals one half. This forces ζ to vanish at the negative even integers (the 'trivial' zeros) and to confine every other zero to the critical strip between 0 and 1. He estimates how many such zeros lie up to a given height.

The hypothesis

Then comes the sentence that has outlasted everything around it. Having counted the zeros, Riemann states where he believes they all lie — and, with disarming candour, sets the proof aside. (In English, after Wilkins: 'it is very probable that all roots are real. Of course one would wish here for a rigorous proof; I have for the time being, after some fleeting vain attempts, provisionally put aside the search for it, as it appears dispensable for the immediate objective of my investigation.')

… und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

The prime count

Finally he gives an explicit formula for the number of primes below a given magnitude. Its smooth main term is the logarithmic integral Li(x); to it Riemann adds an oscillating correction for every nontrivial zero. The apparently random primes are thus expressed exactly as a smooth trend plus a sum of waves — and the frequencies of those waves are precisely the zeros of ζ(s).

[ … ]