具有极复杂动态的简单数学模型
一条一行的种群方程，完全确定，却能安顿于稳定水平、摆入无尽循环、或爆发为混沌——证明简单的规则未必有简单的行为。
你能写下的最简单的方程之一——一条决定明年种群数量的规则——竟会表现得如此狂野，以至它的未来变得无法预测，尽管它身上没有任何随机的东西。
把这个想法拆开看
梅研究的是一个一行的种群模型：每一年的数量，由上一年的数量经一条简单规则算出，规则上只有一个旋钮——增长率。把旋钮拧低，种群会安顿到一个稳定的数。稍微拧高，它就不再安顿——而是在高产的一年与低产的一年间来回翻转，永不停歇：丰、歉、丰、歉。再拧高些，这个循环就翻倍成四年，再翻成八年，越来越快。
越过某个刻度，翻倍便再也停不下来：种群的轨迹转入混沌——它永不重复，两个起点只差毫厘的种群，很快便南辕北辙。最叫人吃惊的是，这条规则完全固定，里面没有半点偶然。复杂的、看似随机的行为，竟可以出自一个极其简单的确定性成因。
它从哪里来
到 1970 年代中期，罗伯特·梅——一位由物理学转向生态学、任职于普林斯顿的澳大利亚人——正研究动物种群如何逐年起落。像他那样的模型，本是用来预测稳定水平或平缓循环的。可一迭代它们，他不断撞见毫无规律地乱跳的数字——他这才意识到，这团乱麻并非模型的瑕疵，而是方程货真价实的特征。
旁人也曾瞥见过其中的片段——数学家早已注意到这类映射的奇异行为，爱德华·洛伦茨也在 1963 年于天气方程里发现过不可预测——但在 1976 年，梅在《自然》上写下一篇简短而有力的综述，把它们汇拢起来、敲响了警钟。不久之后，米切尔·费根鲍姆证明：那一连串翻倍遵循一个普适的数值规律，把一桩奇闻变成了一条定律。
它为何重要
它推翻了一个深植人心、令人安心的假设：无规、不可预测的行为，必有无规、复杂或随机的成因。梅却表明，恰恰相反的情形十分常见——最朴素的确定性规则，原则上也可以是不可预测的。这改变了科学家读取数据的方式：一份剧烈波动的鱼群、虫灾或流行病记录，也许是确定性混沌，而非噪声。它还教给天气、生态与经济学一则同样谦卑的道理——能写出确切的规则，并不意味着你能预报结果。
一个类比
想象一台复印机，被设定为「复印件再复印、再复印」，只有一个旋钮控制对比度。在低档，图像会安顿下来、不再变化。轻轻一拧，它就开始在两幅图像间闪烁；再拧，在四幅间闪；越过某个临界点，每一张复印件都与上一张不同、毫无规律地飘移——尽管机器每一次做的，都是同一件确定的事。下面这个小玩意儿就是这台机器：滑动增长率，看种群如何从单一的稳定水平，到整齐的循环，再到混沌。
它落在何处
这是本馆通向混沌最简单的那道门。爱德华·洛伦茨（1963）在天气那平滑的方程里，发现了同样的敏感性；本华·曼德博（1967）描绘了这类系统所勾勒出的、参差的分形几何；而洛特卡–沃尔泰拉方程（1926），给出的是更古老、更温驯的图景——捕食者与猎物平滑地循环。梅的逻辑斯蒂映射，把这整出大戏，提炼成了一行算术，让混沌成了一个小学生都能用手算出来的东西。
First-order difference equations arise in many contexts in the biological, economic and social sciences. Such equations, even though simple and deterministic, can exhibit a surprising array of dynamical behaviour, from stable points, to a bifurcating hierarchy of stable cycles, to apparently random fluctuations.