论几何学原理
舍弃欧几里得的平行公设，一门全新的几何就立了起来——自洽，且弯曲。
两千年里，几何里有一条规则看上去太显而易见，以至于无人去质疑。洛巴切夫斯基质疑了它——结果发现了另一门几何，和欧几里得的一样自洽，只是在那里，平行线的表现跟你预期的完全不同。
核心想法
欧几里得把整个几何建在五条起始规则上。其中四条都显而易见。只有第五条——关于平行线的那一条——总显得笨拙，像是本该能从其余几条推导出来的东西。两千年里，最出色的数学家都试图证明它。他们全都失败了。
洛巴切夫斯基问了一个大胆的问题：要是第五条干脆就是错的呢？要是过线旁一点，你能画的不是一条平行线，而是好多条永远碰不到它的直线呢？结果滚出来的不是胡言乱语，而是一门完整、自洽的几何——在那里三角形内角和不足 180°，越大的三角形弯得越厉害，而欧几里得的规则只有在图形很小时才重新归来。他意识到：空间未必非得服从欧几里得。可能的几何不止一种；而现实世界到底服从哪一种，是个靠测量、而非靠纯粹推理来回答的问题。
它是如何诞生的
尼古拉·洛巴切夫斯基几乎一生都在喀山大学度过，那里远离欧洲的数学中心，而他一路升任到校长。他于 1826 年首次向全系报告这门奇怪的几何，随后在 1829 和 1830 两年，把它发表在本地的《喀山信使》上——用俄文，登在一本默默无闻的期刊上。几乎没人读到，读到的人多半还嗤之以鼻。
他并非完全孤立。在匈牙利，雅诺什·博亚伊独立地到达了一模一样的几何，并于 1832 年发表。而那位台柱般的卡尔·弗里德里希·高斯，更早几年就在私下想透了类似的想法——但他害怕争议，始终不敢发表。所以这份功劳是真正共享的：洛巴切夫斯基首先付印，博亚伊是独立的共同发现者，高斯则是沉默的先驱。对洛巴切夫斯基的认可，多半是在他身后才到来的。
它为何重要
这打破了一个两千年的假定：欧几里得几何是唯一真正的几何，是烙在宇宙里的。一旦数学家看到其他自洽的几何也能存在，他们便被解放了，可以去发明、去研究任何不自相矛盾的体系——而这正是现代数学所做的大部分事。后来爱因斯坦需要描述引力时，洛巴切夫斯基所参与开启的那种弯曲的、非欧几里得的几何，已在那里等候，随时准备成为时空本身的形状。
一个可以想象的画面
想象在一张平平的纸上画线，对照在一个马鞍内侧、或一片皱巴巴的生菜叶上画线。在平纸上，欧几里得说了算：两条平行线永远保持同样的间距。而在马鞍那弯曲的面上，原本「平行」的线会越离越开，三角形的三个角加起来不足 180°。洛巴切夫斯基的几何，就是那种无尽弯曲、马鞍般的面的几何——完全合乎逻辑，只是不是平的。
它的位置
洛巴切夫斯基的突破推开了一扇门。进门的是伯纳德·黎曼——他于 1854 年把几何推广到任意维度的弯曲空间；接着是阿尔伯特·爱因斯坦，他的广义相对论把时空的形状变成了引力的根源——宇宙的几何，由其中所包含的物所决定。从「几何是固定而显而易见的」，到「几何是诸多选择之一、待与世界验证」的跃迁，就从这里开始——一位偏远的俄国教授，敢于否定欧几里得。
平行线理论里的缺口
相割线与不相割线（第 16 节）
All straight lines which in a plane go out from a point can, with reference to a given straight line in the same plane, be divided into two classes — into cutting and not-cutting.
平行角的表现（第 23 节）
角的方程（第 36 节）
tan ½ Π(x) = e^{−x}