论与四元数理论相关的一类新的虚量
添上第四个维度，空间中的方向便能相乘——也能被转动。
十九世纪一次沿都柏林运河的散步，与你的手机「知道自己朝哪个方向」，能有什么关系？关系大着呢。
可以转动的数
普通的数住在一条线上。复数住在一张平面上，而乘上一个复数，能让一个点旋转起来——这让它们在纸面上描述「旋转」时再合适不过。哈密顿想把同样的魔法搬进三维空间，好让东西能在立体中被转动。卡了许多年之后，他意识到：这个戏法需要第四个维度，外加一桩奇怪的牺牲——在他的新数里，a × b 不再等于 b × a。次序，举足轻重——正如你转动一个物体时那样：先向左、再向上，跟先向上、再向左，落点并不相同。
桥上的那道公式
到 1843 年，爱尔兰首屈一指的数学家威廉·罗恩·哈密顿，已为「如何相乘三元数组」苦苦缠斗多年。10 月 16 日，他与妻子沿皇家运河走向爱尔兰皇家学会的一场会议，答案在一瞬间击中了他——他后来对儿子说，那一刻「一颗火花迸射而出」。生怕忘记，他掏出小刀，把那道关键的公式刻在了经过的布鲁姆桥的石头上：i² = j² = k² = ijk = −1。刻痕早已磨灭，但一块铭牌标出了那个地点，数学家们至今每年都要去那里走一趟「哈密顿之路」。
它为何重要
哈密顿做了一件谁都以为不被允许的事：他造出了一个完整、合理的数系，在其中，乘法的次序会改变答案。这一道「许可」，打开了现代代数——它告诉数学家们：你们可以自由地发明带着新规则的新系统，只要那些规则自洽。而他那些「四个数」的对象——四元数——后来被证明是描述并复合空间旋转的、有史以来最干净的办法；这个用途，要到一个世纪之后才变得不可或缺。
翻动一本书
把一本书平放。先绕一根竖直的轴转 90°，再绕一根水平的轴转 90°，记下封面朝向哪里。现在从头来过，把这两次转动的次序调换——书的朝向会落在一个完全不同的地方。旋转不可交换：次序会改变结果。四元数，就是行为与此一模一样的数——这正是它们能替旋转代言的原因。把四元数按一个次序相乘，得到一个最终朝向；调换次序，得到另一个。
它在知识谱系中的位置
哈密顿的四元数，是高斯等人让其登堂入室的复数的续篇——一个维度变成了四个；也是许多现代数学的前传：填满本馆后续篇章的矩阵、向量与群论，有一部分正是从它生长出来的。物理学家所画的向量箭头、所用的点积与叉积，是一代人之后从哈密顿的代数里凿出来的。在阴影中沉寂了一个世纪后，四元数随着计算机轰然归来——后者恰恰需要它那份「擅长旋转」的天赋。
i² = j² = k² = ijk = −1
ij = k, jk = i, ki = j; ji = −k, kj = −i, ik = −j.
An electric circuit seemed to close; and a spark flashed forth, the herald (as I foresaw immediately) of many long years to come of definitely directed thought and work…
Nor could I resist the impulse — unphilosophical as it may have been — to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge, as we passed it, the fundamental formula with the symbols, i, j, k; namely, i² = j² = k² = ijk = −1, which contains the Solution of the Problem, but of course, as an inscription, has long since mouldered away.