致奥古斯特·谢瓦利埃的信（论方程的可解性）
一个方程能否用根式求解，恰取决于它的对称群能否被拆解为素数阶的步骤。
一个濒死的二十岁青年，用他生命的最后一夜写下：为什么永远不可能有一个公式去解开所有方程——而就在这件事里，他发明了关于对称的数学。
核心想法
对于二次方程，人人都学过一个公式：根可以由系数经过加、减、乘、除和开平方算出来。这种「用根式求解」，对二次、三次（卡尔达诺公式）和四次方程都行得通。三百年来，数学家们苦苦寻找五次方程的同类公式——却始终没有找到。
伽罗瓦解释了这场寻找为何注定徒劳，并把问题转化成了一个关于对称的问题。每个方程都藏着一组对称——即在不扰动其根之间真实关系的前提下，你可以怎样去重排这些根。伽罗瓦把这组对称称为「群」。他证明：公式是否存在，完全取决于这个群能否被拆解成简单的、素数大小的碎块。对于不超过四次的方程，它总能被拆开；可一到五次，就会冒出一块顽固的、拆不开的碎块——而这，正是一般五次方程没有公式的原因。
它是如何诞生的
埃瓦里斯特·伽罗瓦是个愤怒、天才而又时运不济的年轻人。他两度被法国最顶尖的工程学院拒之门外，两度把自己的发现呈交科学院，又两度遭遇丢失，或被以「无法理解」退回。他是动荡巴黎里一名激烈的共和派，曾因政治入狱，也正在恋爱。
1832 年 5 月 29 日，预料自己将在次日清晨的一场决斗中丧命——那似乎是一桩为名誉而起的纠纷——他彻夜写下一封长信给朋友奥古斯特·谢瓦利埃，争分夺秒地记录脑中的数学。在页边，他潦草地写下「我没有时间了」。拂晓他赴约，腹部中枪，于 5 月 31 日去世，年仅二十。谢瓦利埃在当年九月刊出了这封信，但要等到 1846 年刘维尔为之奔走，世人才终于明白失去的是什么。
它为何重要
伽罗瓦所做的，远不止了结一个三百年的老问题。他发明了一整套思考方式：要研究一个对象，就去研究它的对称。这个想法——群论——如今贯穿了全部数学与物理，从晶体的结构，到自然界的守恒定律，再到为网上信息保密的那些规则。而他所构建的那件具体工具——伽罗瓦理论——至今仍能告诉我们哪些古典几何难题是不可能的：你无法用直尺和圆规三等分任意一个角，也无法把一个立方体倍积，而伽罗瓦的推理，正是其中的缘由。
一个可以想象的画面
把「解出根」想象成打开一个密码保险箱——但你被允许的动作只有开平方、开立方等等，每一种动作都对应转一下表盘。方程的对称群，就像这把锁内部的机械。如果这套机械是由一摞小小的、素数大小的锁簧叠成的，你就能用手上的动作把它们一颗颗弹开。可对于五次方程，里头有一颗锁簧根本没有更小的部件——六十个位置，无法再分——任何根式「转动」的序列，都永远撬不开它。保险箱，永远关着。
它的位置
拉格朗日、鲁菲尼，以及挪威人尼尔斯·阿贝尔，都曾绕着这个问题打转；阿贝尔在 1824 年证明了一般五次方程没有根式公式，而伽罗瓦解释了更深的「为什么」，并把一件新工具交到了数学手中。从他的群里，流出了若尔当、戴德金与诺特的抽象代数，流出了现代物理的对称原理，又——经由椭圆曲线的伽罗瓦群——在一百五十多年后流向了费马大定理的证明。寥寥数页，写于烛火之下，重组了一门科学。
开篇——三篇论文
群的本征分解
可解性判据
Si chacun de ces groupes a un nombre premier de permutations, l'équation sera soluble par radicaux; sinon, non. [If each of these groups has a prime number of permutations the equation will be soluble by radicals; if not, not.]
结尾——最后的文字
Après celà il se trouvera, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis. [After that there will, I hope, be people who will find profit in deciphering all this mess.]