热的解析理论
再参差的形状，也不过是一群平滑正弦波的总和——是热，教会了我们听见它们。
把任何一段复杂的波动拆开，你会发现：它从头到尾，都是一摞简单、纯净的波叠出来的。
核心想法
傅里叶起初想做的，是一件很实际的事：预测热量如何在一根金属棒里扩散、又如何随时间冷却。要解这个问题，他需要一种办法，来描述任意一种起始的温度分布——这里热、那里冷，还带着陡峭的边缘。
他的答案，结果远比「热」本身要宏大。他证明：任何一种分布，无论多么参差，都能由一组光滑、重复的波——正弦波——以不同的快慢与大小叠加而成。少数几道波，给出一个粗略的近似；多加几道，近似就更锐利。每一道波，都是一个「纯音」，而「用哪些音、各自多响」的这份配方，就是我们今天所说的傅里叶级数。
它是如何诞生的
傅里叶的一生跌宕——他随拿破仑远征埃及，治理过一个法国行政区，许多研究都是在偷来的时间里做成的。1807 年，他向法国科学院递交了一份论文，宣称：哪怕带有跳变的函数，也能写成正弦与余弦之和。评审的那些大数学家——拉格朗日就在其中——并不信服；他们认为，光滑的波永远叠不出带尖角的东西。
大体上，傅里叶是对的，他们错了——尽管要弄清他这些和「在何时、以何种方式」才规矩，还得等后来一个世纪的数学家。他的专著最终在 1822 年问世，而这个想法，悄然征服了整个科学。
它为何重要
一旦你能把任意信号拆成纯音，你就能测量它们、储存它们、改动它们，再把信号重建出来。这正是隐藏的机械装置——藏在把一首歌压成 MP3、拍一张 MRI、清理一段嘈杂录音、把数据从空中发出去的背后。傅里叶的热问题，交给现代世界一种眼光：去看见万事万物内部的那些频率。
一个可以想象的画面
想象一个和弦。一拨下去，你听到的是一个声音——但它其实是好几个纯音同时奏响，而训练有素的耳朵（或一个调音 App）能把每一个都叫出名字。傅里叶的论断是：每一个信号，都像那个和弦——外面是单一的形状，里面是一摞纯音。分析它，就是写下它的乐谱；重建它，就是把那些音重新一起奏出。
它的位置
十八世纪那道振动的弦的难题，早已暗示过波可以叠加，但真正把它变成一件通用工具、并系结到物理上的，是傅里叶。从这里，一条线通向麦克斯韦的波与普朗克的能量包，又径直伸入信息时代：当香农度量一条信道的容量时，当今天的音频与图像编解码器运转时，它们说的，都是傅里叶那套关于频率的语言。
Heat, like gravity, penetrates every substance of the universe, its rays occupy all parts of space. The object of our work is to set forth the mathematical laws which this element obeys.
Profound study of nature is the most fertile source of mathematical discoveries.
it remains incontestable that separate functions, or parts of functions, are exactly expressed by trigonometric convergent series, or by definite integrals.
Mathematical analysis is as extensive as nature itself; it defines all perceptible relations, measures times, spaces, forces, temperatures; this difficult science is formed slowly, but it preserves every principle which it has once acquired; it grows and strengthens itself incessantly.