几何原本
从寥寥几个定义与五条公设，欧几里得推演出几乎整个几何——并教会世界「证明」意味着什么。
两千年来，学几何就意味着读同一本书——并从中学会：真正「证明」一件事，究竟意味着什么。
核心想法
《几何原本》是一部约公元前 300 年写成的几何教科书，但它真正的主题，是推理。欧几里得先写下极少数几条出发的假设——几个朴素的定义、五条「公设」（你被允许去做的事，比如在任意两点之间画一条直线），以及五条「公理」（显而易见的真理，比如「整体大于部分」）。然后，仅凭逻辑，他一路向外建造。
从这一小小的基底，他证出了 465 个结果，每一个都只倚靠那些假设、以及此前已证的结果。没有什么靠信念被接受；没有什么因「看起来对」而成立。这条链——从寥寥几个公认的起点，到一座确定无疑的结论之塔——正是至今仍界定数学的方法，而欧几里得，是第一个把它完整摆出来的人。
它是如何诞生的
约公元前 300 年，欧几里得在埃及的希腊大城亚历山大讲学，就在当时地中海世界中心的那座图书馆与缪斯神殿里。我们对他本人几乎一无所知：不知他何时生、何时死，甚至不能确定他是不是同一个人。有一则传说：托勒密王想要一条更省力的捷径来读这本书，欧几里得答道——「几何无王者之路。」
书里的大部分内容，并非他所发现。那些定理来自更早的希腊数学家——毕达哥拉斯的门徒、欧多克索斯、泰阿泰德。欧几里得的天才在于组织：他把零散的知识，编排成一条单一而无缝的次序，其中每一步都是「挣来的」。正因如此，这本书的寿命，超过了它周围几乎一切。
它为何重要
《几何原本》教会了世界如何论证。它「先陈述假设，再一步步证明其余一切」的格式，成了远超数学的严谨思考之范本——牛顿用它写物理，哲学家借用它，而至今每一个证明仍这样运作。两千多年里，它是学校里标准的几何教科书，印行次数仅次于《圣经》。
一个可以想象的画面
想象用乐高搭建，但有一条严格的规矩：只有当一块新积木能扣在一块已经放好的积木上时，你才可以添上它。五条公设与公理，就是最先按在底板上的那几块砖。此后每一个定理，都必须卡在已经在那儿的砖上——绝不能悬在半空。到最后，你得到一座庞大而精巧的结构，而其中任何一处，你都能一路追溯回底板。正是这种「可追溯」，让它值得信赖。
它的位置
欧几里得几乎站在这座图书馆所讲述的整个故事的起点。这里后来的几乎每一部著作，都默认了他所确立为标准的演绎风格：牛顿的《自然哲学的数学原理》（1687）就写成一连串欧几里得式的命题；而「数学能否做到完全滴水不漏」这个问题，则从欧几里得一直延伸到哥德尔的不完备定理（1931）——后者证明了：任何这样的体系，能证明的东西终究有其极限。由怀疑他的第五公设而诞生的非欧几何，则成了爱因斯坦描述引力所需要的数学。
第一卷 · 定义
五条公设
5. That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.
公理（共同概念）
命题 I.1 · 作等边三角形
命题 I.47 · 勾股定理
In right-angled triangles the square on the side subtending the right angle is equal to the squares on the sides containing the right angle.