物理学 1928

电子的量子理论

保罗·狄拉克（P. A. M. Dirac）

逼电子的波动方程服从相对论——自旋，乃至反物质，便从数学中自行涌现。

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In depth · the introduction

要求一个方程同时尊重量子力学与爱因斯坦的相对论——它回敬你的，是一个必然包含反物质的宇宙。

把这个想法拆开看

到 1928 年，物理学家已经知道电子会「自旋」——它自带一点点磁性——但他们只是把这个事实手工地添进方程里。狄拉克想要一个同时服从量子力学与狭义相对论的方程，并坚持它必须取某种简洁的形状。当他找到那个合身的方程时，电子的自旋与它的磁性，早已不请自来地待在里面了。

同一个方程，还藏着一个固执的第二答案。正如问「什么数的平方等于四」会同时得到 +2 和 −2，狄拉克的能量方程也给出一个正答案，和一个与之相等的负答案。他无法在不破坏数学的前提下扔掉那个负的——于是他最终断定：它描述的，是电子的一个真实的、相反的孪生兄弟。那，就是反物质。

它从哪里来

保罗·狄拉克当时二十五岁，是剑桥圣约翰学院里一位以沉默寡言著称的人，靠着追逐数学之美来工作。他不喜欢旁人正在用的那个相对论性方程，便动手去造一个更好的。他在 1927 年的圣诞节期间写就结果，并在 1928 年 1 月 2 日投出。

那些负能量的答案，困扰了他许多年。1931 年，他做出一个大胆的论断：在某处，必定存在一个「反电子」，一个质量与电子相同、电荷却相反的粒子。1932 年，卡尔·安德森在拍摄宇宙射线时，恰好捕捉到这样一条径迹——正电子。狄拉克分享了 1933 年的诺贝尔奖；他几乎只凭着对「正确方程」的一份坚持，就预言了一种全新形态的物质。

它为何重要

这是量子力学与相对论第一次真正的联姻，也是现代物理运作方式的范本。狄拉克从纯数学中，拽出了一种此前无人想象过的物质，然后眼看着世界印证了它。这个教训——一个足够深刻的方程，能在任何人看见之前，就告诉你什么必定存在——一路延伸，直通几十年后对希格斯玻色子的预言。

平方根有两个答案

让计算器算四的平方根，客气的答案是 2。可 −2 也一样成立：(−2)×(−2) 同样等于 4。在狄拉克的相对论性方程里，能量也以同样的方式坐在一个平方根底下，于是对任何一种运动，都有一个正能量，和一个镜像般的负能量。把那个负的扔掉是不被允许的——它是一个货真价实的解。大自然使用它的办法，就是造出一个反粒子。拖动下方的工具，看那条能量线如何在零以下长出它的孪生兄弟。

它落在哪里

薛定谔 1926 年的方程——本馆已有收录——把一个慢速电子描述得很美，却忽略了相对论。狄拉克的方程，正是它的相对论性继承者，也是通往量子场论与标准模型的门户。它属于一条谱系：从爱因斯坦 1905 年的相对论，穿过那场量子革命，直到现代物理那个一再出现、在希格斯身上又见到的习惯——让一个被信任的方程，去预言世界尚未找到的粒子。

The original document

Original source text

P. A. M. Dirac · Proc. R. Soc. Lond. A 117, 610–624 · received 2 January 1928

The problem

The new quantum mechanics, when applied to the problem of the structure of the atom with point-charge electrons, does not give results in agreement with experiment. The discrepancies consist of "duplexity" phenomena, the observed number of stationary states for an electron in an atom being twice the number given by the theory.

That doubling was electron spin. By 1928 it had been forced into the theory by hand — Goudsmit and Uhlenbeck's spinning electron (1925), and Pauli's 2×2 spin matrices added to the wave equation (1927) — but no relativistic equation produced it on its own.

Dirac's requirement

Dirac rejected the second-order relativistic equation (now called Klein–Gordon) because the general transformation theory of quantum mechanics demanded a wave equation linear — first order — in ∂/∂t. To keep faith with relativity, which treats time and space alike, it then had to be first order in the space derivatives too. As the paper shows, that single demand forces the coefficients to be matrices and the wavefunction ψ to carry four components.

It appears that the simplest Hamiltonian for a point-charge electron satisfying the requirements of both relativity and the general transformation theory leads to an explanation of all duplexity phenomena without further assumption.

What the equation gives

From the four-component equation, the electron's spin of ½, its magnetic moment (a g-factor of 2), and the fine-structure splitting of the hydrogen spectrum all follow with no extra postulate — the central triumph of the paper.

[ … ]

The negative-energy difficulty

Half of the equation's solutions carry negative energy, with no lower bound — a difficulty this paper raises but does not resolve. Dirac resolved it only in later work: a filled "sea" of negative-energy states (1930) whose vacancies he predicted in 1931 to be a positive anti-electron. Carl Anderson found that particle — the positron — in cosmic-ray tracks in 1932.

St John's College, Cambridge · January 1928