数学 1821

皇家综合理工学院分析教程

奥古斯丁-路易·柯西

微积分，被重建在一个诚实的想法之上：极限。

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In depth · the introduction

有一百五十年，微积分运转得无比出色，却站在一个谁也说不太清的想法之上——「无穷小」的数。柯西用一个诚实的定义，取代了这份魔法：极限。

核心想法

微积分谈论的，是那些永远在缩小、或永远在靠近的量——一条曲线在某点的斜率、它下方的面积、无穷多个微小碎片之和。发明它的牛顿与莱布尼茨，是靠「无穷小」来推理的：那是一种比任何实数都小、却又不为零的数。答案是对的，可没人说得清这些数究竟是什么。

柯西的对策，是不再去谈一个固定的微小数，转而去谈一个「趋近的过程」。一个变量「有极限」，是指它能靠近、并一直靠近某个值，近到你所能要求的任何程度——你尽管报出一个容差，无论它多小，那变量最终都会落进去。由这一个想法，他重建了连续（没有突然的跳跃）、收敛（一个无穷和最终安定下来），以及整个微积分——如今，它有了你可以核查的理由，而不只是你不得不信的结果。

它是如何诞生的

奥古斯丁-路易·柯西是一位年轻的工程师，虔诚而笃信宗教，政治上保守，后转任巴黎综合理工学院的教授——那是为法国培养工程师与军官的精英学府。他受命给一年级学生讲授微积分，却发现这门学问一团乱：威力巨大，却处处充斥着对无穷小的含糊诉诸，以及那些有时会算出荒谬结果的操作。

于是在 1821 年，他把自己的讲义写成一本书——《分析教程》——并从头重建了它的根基。据说，学生们抱怨它太过严格、太过拖沓。但柯西已经认定：一个你无法核查的证明，根本就不算证明——而正是这份信念，重塑了「做数学」究竟意味着什么。

它为何重要

在柯西之前，微积分是一台宏伟却无人能完全证成的机器。在他之后，它有了根基：你可以证明它的定理，而不只是去相信。这条标准——先精确地定义你的术语，再证明由此推出的一切——蔓延到了整个数学。每一个理工科学生都会遇到的「ε–δ」定义，正是他的、被打磨过的版本。就连他的错误也颇有成效：他一条有瑕疵的定理，曾推动他人去发现两类收敛之间那个至关重要的区别。

一个可以想象的画面

想象一个靶子，一圈圈越画越紧、围着正中的靶心。有人向你挑战：「你能把每一发都打进这个圈里吗？」你回答：「让我站到离线这么近，就能。」他画出更紧的一圈；你便往前再站近些；你依然做得到。一个量「有极限」，恰恰是指：无论他能画出多紧的圈，你都能找到一个站立的距离，使每一发都落在圈内。极限，就是那个你其实永远不必真正命中的靶心；你只需能在被要求时，任意地靠近它。

它的位置

柯西站在微积分故事的枢纽上。他身后，是牛顿与莱布尼茨——他们在十七世纪造出了这台机器，却把它的齿轮留得神秘莫测。他身前，是魏尔斯特拉斯——他把柯西的文字化作滴水不漏的符号；还有戴德金与康托尔——他们构造出了柯西的极限暗中所依赖的那条实数轴。这条严格性的线索一路向前，延伸到哥德尔关于「证明本身能触及什么」的追问——那是本馆的另一份文献。今天，你所计算的每一个极限、所写下的每一句「当 x 趋于」，都是柯西的。

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绪论——变量与极限

Augustin-Louis Cauchy · Cours d'analyse · 1821 · Préliminaires

On nomme quantité variable celle que l'on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres.

(A variable quantity is one that we consider as receiving, in succession, several values different from one another.)

Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.

(When the values successively attributed to a variable approach a fixed value indefinitely, so as to end by differing from it by as little as one wishes, this last value is called the limit of all the others.)

无穷小

Cours d'analyse · 1821 · Préliminaires

Lorsque les valeurs numériques successives d'une même variable décroissent indéfiniment, de manière à s'abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu'on nomme un infiniment petit ou une quantité infiniment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite.

(When the successive numerical values of a variable decrease indefinitely, so as to fall below every given number, that variable becomes what one calls an infinitely small quantity, or an infinitesimal. A variable of this kind has zero for its limit.)

连续性（第二章）

Cours d'analyse · 1821 · Ch. II, § 2 · Des fonctions continues

la fonction f(x) sera, entre les deux limites assignées à la variable x, fonction continue de cette variable, si, pour chaque valeur de x intermédiaire entre ces limites, la valeur numérique de la différence f(x + α) − f(x) décroît indéfiniment avec celle de α.

… un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.

(… an infinitely small increase in the variable always produces an infinitely small increase in the function itself. — Cauchy's own restatement of continuity.)

Augustin-Louis Cauchy · Professeur d'Analyse à l'École Polytechnique · Paris, 1821