论代数方程：证明五次一般方程不可（根式）求解
五次一般方程，没有根式解的公式。
整整 250 年，数学家们苦苦寻找一个能解任意五次方程的公式。一个 21 岁的挪威人却证明：他们追逐的那个公式，根本不可能存在。
核心想法
你大概学过二次方程的求根公式：把像 x² + bx + c = 0 这样的方程里的数字代进去，答案就出来了——它由这些数字，经加、减、乘、除与开平方根搭成。三次方程（x³……）与四次方程（x⁴……）也有对应的（更繁复的）公式，都是在十六世纪找到的。
顺理成章的下一步，就是为五次方程——即五次的方程——找一个公式。一代又一代人去试，都失败了。阿贝尔道出了原因：根本没有这样的公式，也不可能有。对于五次及更高次的方程，它们的根，在一般情形下，根本无法仅用那些熟悉的运算与开方写出来。他不是没找到这个公式——他证明了：谁也永远找不到。
它是如何诞生的
尼尔斯·亨利克·阿贝尔在挪威的贫寒中长大，他的天赋被一位老师发现，老师出资供他读书。少年时，他一度以为自己「解出」了五次方程——随后又抓出了自己的错误；而这次失败，把他引向了一个更深的问题：也许，谁都找不到那个公式的原因，正是它压根不存在。
一位意大利人保罗·鲁菲尼，自 1799 年起便主张过同样的事，但他的证明留有一个他始终没能补上的漏洞。阿贝尔把它补上了。1824 年，他自费把证明印成一本六页的小册子——为省钱而排得极其拥挤，以至于没几个人能读懂。两年后，他为一份新创的德国数学杂志把它完整重写了一遍。他 26 岁时死于肺结核——恰在迟来的承认终于到来之际。
它为何重要
这是数学头几次证明某件事是「不可能」的——不是「我们还没找到」，而是「它永远找不到」。这是一种不同的、更艰难的知识。为了证明它，阿贝尔（紧接着还有伽罗瓦）发明了思考方程之解的「对称性」的方法，它日后长成了群论——今天，这是整个数学、物理与化学的核心语言之一。
一个可以想象的画面
把它想成一座迷宫，里头你唯一被允许的动作，是那些「根式」动作：加、减、乘、除，以及开方。对于二、三、四次方程，总有一条路，只用这些动作，就能从系数走到答案。阿贝尔却证明：对于一般的五次方程，答案待在一个房间里，而那个房间根本没有任何一扇门，是这些动作所能抵达的。答案是存在的——每个这样的方程确实都有五个根——但任何一串被允许的步骤，都永远走不到它跟前。
它的位置
解方程，是数学最古老的线索之一，从巴比伦的泥板，一路延伸到攻克三次与四次方程的文艺复兴意大利人。阿贝尔终结了寻找五次公式的征程；埃瓦里斯特·伽罗瓦——又一位悲剧性的年轻天才，20 岁死于决斗——则精确解释了究竟哪些方程可解、哪些不可解，从而创立了伽罗瓦理论。他们那基于对称性的思考方式，长成了群论；它后来让物理学家得以描述自然界的种种对称，也支撑着现代密码学。
小册子与它的主张
Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré.