为什么基础卡尔曼滤波会失效
经典的 卡尔曼滤波 异常优雅，却建立在一个严格假设之上：每一步都必须是直线关系。机器人从一刻到下一刻的运动方式（即它的 运动模型）以及传感器读数依赖真实状态的方式（即观测模型），两者都必须是线性的——输入翻倍，输出就翻倍，中间没有任何弯曲。当这成立时，呈钟形的 高斯 信念在每次预测和更新后仍是完美的钟形，数学便干净闭合。
真实机器人很少这么配合。轮式机器人一旦转弯，它新的 x–y 位置就取决于其朝向角的正弦与余弦——这是弯曲函数，而非直线。一边前进一边旋转，未来的位置便沿弧线弯折。这就是非线性运动，已经打破了前述假设。
感知同样糟糕。仅测方位的传感器——比如只报告到地标的*角度*、不报距离的相机——通过反正切将角度与位置联系起来。从信标测距则涉及平方根。把一团漂亮的高斯猜测云送过这种弯曲函数，出来的云就歪斜成香蕉形，不再是干净的钟形。基础滤波没有诚实的办法表示这一点，于是它便悄悄谎报了自己的置信度。
扩展卡尔曼滤波：在局部假装它是直的
最古老的修正是 扩展卡尔曼滤波（EKF），它的诀窍很容易想象。一条曲线，只要你凑得够近，看起来几乎就是一条直线——也就是该点的切线。于是 EKF 取机器人当前的最佳猜测，就在那一点为弯曲的运动与传感器函数画出切线，再用这条直线近似去跑一步普通的卡尔曼运算。下一步，新的猜测，新的切线。它每个周期都重新线性化。
在机制上，这条切线由雅可比矩阵刻画——一个偏导数矩阵，告诉你当每个输入微动时每个输出如何微动，且在当前估计处求值。把这些雅可比矩阵放到线性滤波原本期待固定矩阵的位置，整个 预测—更新 循环便几乎原封不动地继续运转。正是这种熟悉感，让 EKF 成了 GPS 接收机、早期无人机以及无数 定位 系统的主力。
但切线只在你绘制它的那点附近才是好的替身。若函数弯曲剧烈，或你当前的猜测离真相很远，这条直线近似就可能严重偏离——于是滤波会自信地朝错误方向迈步。误差累积，报告的协方差越缩越小，而现实却越走越远，估计可能彻底发散，再也回不来。EKF 还要求你真能算出那些导数，对杂乱、不光滑的模型而言，这往往痛苦甚至不可能。
无迹卡尔曼滤波：用采样，别求导
无迹卡尔曼滤波（UKF）源自一个犀利的洞见：逼近一个概率分布，要比逼近一个任意非线性函数容易。UKF 不把曲线压平成切线，而是原封不动地保留真实的弯曲函数，转而挑选一小组经过精心选取的采样点——称为 sigma 点——它们合在一起刻画当前信念的均值与展布。
然后它做了显而易见而诚实的事：把每个 sigma 点送过*真正*的非线性运动或观测函数——不用切线，不抄近路。在另一端它得到一团变换后散布的点，再直接读出它们新的均值与 协方差，构成下一个高斯。这称为无迹变换；面对同等的弯曲程度，它通常远比 EKF 的切线更忠实地跟踪真实的均值与展布。
还有一个重要的实用好处：不需要求导。你永远不必手算雅可比矩阵，也不必担心模型太崎岖而无法求导——你只需能在某个点上*运行*该函数即可。这让 UKF 成为 EKF 顺手的升级替代，通常只多付出一点点代价（用少数几个 sigma 点取代一次线性化）。
不过 UKF 的局限与 EKF 同形：归根结底，它仍把答案概括为单个高斯——一个只有一个峰的钟形。如果真实信念已确实变成香蕉形，更糟的是分裂成两团各自分离的可能性，单个钟形便无法描述。要应对这种情形，你需要一种根本不同的表示。
粒子滤波：能呈现任意形状的一团猜测
粒子滤波 干脆抛弃了钟形曲线。它不用均值和协方差来描述信念，而是把信念表示为一群成百上千个各自独立的猜测——粒子——每一个都是关于机器人可能位置的一个完整假设。这群粒子的密度本身*就是*概率：粒子密集成团之处，机器人很可能就在那里；稀疏之处，多半不在。由于这群粒子能呈现任意形状，它便能刻画香蕉形、两团、一个圆环——真相需要什么形状就什么形状。
- 预测：让每个粒子按运动模型向前移动，并撒入少许随机噪声，使这团云适度扩散，以反映机器人实际运动方式上的不确定性。
- 加权：取最新的传感器读数，为每个粒子打分——若某粒子所在位置本会产生与实际所见相近的读数，就给高权重，与之相悖的就给低权重。
- 重采样：通过把高权重粒子多次复制、淘汰低权重粒子，繁衍出新一代群体，使幸存者聚集到证据指向之处。
- 每个周期重复；随时间推移，这团云追逐真相，并随读数累积而收紧。
这套配方正是 蒙特卡洛定位——把粒子滤波用于经典问题：在已知地图上判断机器人身处何处。它最精彩的绝活是应对被绑架的机器人：把粒子均匀撒满整张地图，随着机器人行驶并感知，与世界相悖的团块逐渐饿死消失，正确的团块则不断壮大，直到这团云坍缩到真实位置上。单个高斯必须从一开始就咬定一个猜测和一种展布，根本做不到这一点。
如何取舍：代价对灵活性
把这三者并排一比，便浮现出一条清晰的谱系，在计算代价与各自能消化多少杂乱之间权衡。EKF 最廉价、最简单；UKF 是温和的进阶，能更优雅地应对弯曲；粒子滤波则是重量级选手，能表示任意形状的信念——但所需算力最大。
Filter Belief shape Handles nonlinearity Cost Best when ------ ----------------- -------------------- ------- -------------------------- EKF one Gaussian tangent (linearize) low mild curve, good init guess UKF one Gaussian sample sigma points medium sharper curve, no derivs PF/MCL any-shape cloud run true function high multi-modal, kidnapped robot
实践中，选择随问题而定。无人机把 IMU 与 GPS 融合时，估计始终贴近真相、每秒更新数百次，为求速度便倾向 EKF 或 UKF。地面机器人若必须从零判断自己在地图上的位置，或在被拎起移动后恢复定位，则倚重粒子滤波，正因为它能同时持有多个相互竞争的假设。许多真实系统甚至将它们混用——而这三者都属于同一家族，即永远循环着先预测后更新的递归 贝叶斯滤波，区别只在于如何描绘信念。