不变间隔与光锥

人人各执己见——唯独有一件事例外

到这里你已经见识了令人不安的消息：两个事件之间过了多少时间，取决于谁在观察；它们之间的距离同样如此。运动的观察者对这两者确实各执己见，仿佛再没有任何坚实的立足之地。但在这片分歧之下，藏着一块磐石：取时间间隔与空间间隔，用恰当的方式把它们组合起来，每个人算出的结果都一样。这个结果就是时空间隔。

         what each observer measures        what they all agree on

   Alice:   ct = 5,  x = 3   -> 25 - 9   = 16
   Bob:     ct = 4,  x = 0   -> 16 - 0   = 16    s^2 = (ct)^2 - x^2 = 16
   Carla:   ct = 6,  x = 4.47 -> 36 - 20 = 16
            (ct and x all different!)            (one shared number!)

时间和距离是各人各样的。而间隔 s^2 = (ct)^2 - x^2 则是所有人共享的。

公式，以及那个至关重要的减号

在普通几何里，距离来自带加号的勾股定理：d^2 = x^2 + y^2。时空看起来几乎一样，却带着一处叛逆的转折——时间项与空间项是相减，而非相加：

    ordinary space:    d^2 =  x^2 + y^2        (a PLUS sign)

    spacetime:         s^2 = (ct)^2 - x^2      (a MINUS sign!)

    t = time between the two events
    x = distance between them
    c = speed of light (it converts seconds into meters,
                        so ct and x are measured the same way)

一个减号，就是几何与时空之间的全部区别——也是相对论的整个性格所在。

正是这个减号，使得间隔可以是正、零或负——这是普通长度永远做不到的。把时间乘以 c，只是为了让它与距离同单位（一秒钟变成约 30 万公里的「光距离」），这样两项才能公平地比较。真正的奥妙，全在于那个减法。

三种间隔的「口味」

s^2 的符号，把每一对事件归入三种类型之一——而由于 s^2 对所有人都相同，这种归类是所有观察者一致认同的。它是关于这两个事件的一项永久事实，而非视角问题。

类时（s^2 > 0，时间占上风）：这段空隙「时间多于空间」。某个慢于光的东西能从一个事件走到另一个，因此其一可以是另一的起因。你自己心脏的两次跳动，便是类时间隔的。
类空（s^2 < 0，空间占上风）：这段空隙「空间多于时间」。在可用的时间内连光都跨不过去，因此两个事件谁也无法影响谁。它们在因果上被切断了。此处的一个喷嚏，与遥远恒星上「同一刻」的一个喷嚏，便是类空间隔的。
类光（s^2 = 0，恰好打平）：这段空隙恰好能被光、且只能被光跨越，慢一点都不行。(ct)^2 与 x^2 正好抵消。唯有光本身、或任何无质量之物，才能连接这样的两个事件。望见一颗遥远的恒星，便是它的闪光与你眼睛之间的一条类光连线。

光锥：你的因果地图

画一张时空图，让时间朝上、空间横向，把「此时此地」摆在正中央。从你这里发出的光以 45 度向外铺开（因为我们量的是 ct，光每过一个时间单位就走一个距离单位——正好是一条对角线）。这些对角线勾勒出光锥：一只整齐地向上张开、伸入你未来的锥，和另一只向下张开、伸入你过去的锥。

        ct (time)
          ^        .                     .
          |          .   FUTURE         .      <- events you CAN still affect
          |            .   (timelike   .          (inside the upper cone)
          |              .  & reachable)
          |    light ->    .          .    <- light       s^2 = 0 on these lines
          |                  .      .                      (lightlike)
    ------+-------------------( HERE )-------------------> x (space)
          |                  .      .
          |    ELSEWHERE   .          .   ELSEWHERE   <- spacelike: no cause/effect
          |  (spacelike)  .              .             possible either way
          |             .    PAST          .
          |           .   (events that      .  <- events that COULD have
          |         .      could affect you)   .    reached and shaped 'here'

光锥把时空切成未来、过去，以及在因果上彼此隔绝的「别处」。那 45 度的边缘，就是类光（s^2 = 0）的分界线。

这只锥，就是你私人的因果地图。凡落在你上半锥里的，对你而言都是类时的，处在你够得着的未来——你仍可向那里发出信号。凡落在你下半锥里的，都是你的过去，能够曾经影响过你。锥之外的一切都是类空的——那片「别处」——在空间上太过遥远，连光都来不及抵达，更别说你了。你既无法触及它，也无法被它触及。

为什么这是因果律的脊梁

由于间隔是不变的，光锥也随之不变：若一个事件落在另一个事件的未来锥内，那么每一位观察者都对此一致认同——无论他们运动得多快。正是这一点守护了因果关系。不同的观察者或许会重排类空事件的先后（还记得「同时」是相对的吧），但他们永远无法颠倒一个起因与它的结果，因为这两者是类时间隔的，对所有人都被锁在同一只锥内。