E = mc²：质量与能量本是一体

每个物体里都藏着一个银行账户

在爱因斯坦之前，质量与能量记在两本不同的账上：质量是「有多少东西」，能量是「它能做多少事」。E = mc² 把这两本账合而为一。它说，物体的质量本身就是一座巨大而沉默的能量仓库——它的静能——哪怕物体纹丝不动，这份能量也安然在场。把一丁点质量乘以 c²（光速的平方），就得到一个惊人的数字，因为在国际单位制里 c² 约等于 90,000,000,000,000,000。

这条公式从何而来

你不需要繁重的数学就能看清质量为何必定携带能量。爱因斯坦 1905 年的论证本身就是一招漂亮的记账法：让一个静止的物体朝相反两个方向各发出一道等强的闪光。闪光带走了能量与动量，但物体并不反冲（两次推力相互抵消）。再要求在一个看着该物体缓缓掠过的参考系里，动量与能量依然平衡，那么唯一能让账目对得上的办法，就是物体损失了一点质量——其值恰好等于损失的能量除以 c²。

        before                         after
     +-----------+                  +-----------+
     |  object   |   ===>  <~~~  ~~~>   | object |
     |  mass M   |        light    light |mass M-dm|
     +-----------+                  +-----------+
        (still)        carries E, p     (still, lighter)

   energy lost as light  =  E
   mass lost by object   =  E / c^2     <-- so  E = (dm) c^2

光带着能量 E 离开；为了让能量和动量在每个参考系都平衡，物体必须减少质量 dm = E/c²。

静能与总能量

E = mc² 其实指的是*静*能——一个不运动的物体所具有的能量。一旦它动起来，便会在此之上额外带着运动的能量。完整的总能量等于 gamma 乘以静能，这里的 gamma 正是时间膨胀里那个洛伦兹因子。所以 E = mc² 不过是更大图景中那个特殊的、静止不动的情形（gamma = 1）。

   total energy:   E = gamma * m * c^2          (gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2))

   at rest (v=0):  gamma = 1   ->   E = m c^2     <-- the famous one

   moving slowly:  E ~ m c^2  +  (1/2) m v^2
                       \____/    \__________/
                     rest energy   ordinary kinetic energy

在低速下，总能量就是静能加上中学物理里熟悉的 ½mv²——相对论把旧答案完整地包含在内。

总方程

有一条方程在每个参考系里都成立，把能量、动量与质量牢牢绑在一起——它就是能量-动量关系。可以把它想成一个直角三角形：总能量 E 是斜边，而 pc（动量乘以 c）和 mc²（静能）是两条直角边。

          E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2

              E  /|
                / |
               /  |  pc        (energy as the hypotenuse
              /   |             of a right triangle)
             /____|
              mc^2

   p = 0  ->  E = mc^2     (object at rest)
   m = 0  ->  E = pc       (massless particle, e.g. light)

E² = (pc)² + (mc²)² 的勾股形状。令 p = 0 便回到 E = mc²；令 m = 0 就得到光。

没有质量，却能推动东西

光没有质量——那 E = mc² 岂不是说它的能量为零？不对。E = mc² 只是静止之物的特例，而光从不静止。把 m = 0 代入总方程，就得到 E = pc：一个光子携带的能量与它的动量严丝合缝地步调一致。无质量绝不意味着无力。阳光会压在它照到的任何东西上，工程师们更已让真实的太阳帆单凭光子动量在太空中被推着航行。