一个不肯老老实实待着的粒子
在日常生活里，东西总有个位置。钥匙在桌上；月亮在天上，就在那个确切的地方。我们可以问“它在哪儿？”，并指望得到一个老实的答案。量子世界打破了这个让人安心的习惯。一个电子，在你去看它之前，并不是停在某一个点上、等着被找到。相反，它是“弥散”开的——在一种奇异而又千真万确的意义上，它同时存在于一整片区域之中。为了描述这种弥散开的状态，物理学使用了一个单一的数学对象，叫做波函数，用希腊字母 ψ 来写（读作“psi”，音近“赛”）。整趟阶梯讲的就是 ψ 的故事：它是什么、该怎么读它，以及大自然为什么非要它不可。
为什么偏偏是“波”？
“波”这个字不是诗意的装饰；它是被实验硬塞给物理学的。朝一块开了两道窄缝的屏发射极小的粒子——电子，哪怕一次只发一个——它们并不会像你扔出的小石子那样，在缝后堆成简单的两条带子。相反，它们会慢慢积累出一圈圈明暗相间的条纹图案，这正是“波相互叠加、彼此相加”的确凿标志。这就是著名的双缝实验；它告诉我们：每个粒子身上一定有某种“波一般”的东西，在引导着它能落在哪里、不能落在哪里。
在波函数被写下来之前，年轻的物理学家路易·德布罗意（Louis de Broglie）作了一个大胆的猜测：如果一直被当作波的光能表现得像粒子，那么也许物质的粒子也能表现得像波。他甚至提出了一个公式——德布罗意波长——说粒子越快、越重，与它相伴的波就越短。波函数 ψ 就是德布罗意这一直觉的成熟、完整成型的版本：不是一个含糊的“物质波”，而是一个我们可以拿来计算的精确对象。“粒子身上带着一道波”这一底层观念，有时就被称为物质波。
ψ 究竟是什么
具体来说，ψ 是一个函数：给它一个位置（再加上某个时刻），它就回给你一个数。换到另一个地点，这个数就变了。所以 ψ 给空间中的每一个点都赋了一个值——它是一张“每个地方有多少波”的完整地图。这张地图的形状，就是这个粒子的量子态：大自然允许你知道的关于它的一切，统统编码在 ψ 里。两个具有相同波函数的电子，就物理所能分辨的程度而言，处在完全相同的境况之中。正因如此，我们才说 ψ 就是把量子态完整写了出来。
这些数里藏着一个意外。ψ 的取值不是普通的数，而是复数——带有“虚部”的数，也就是你也许见过的、√(−1) 的那种倍数。这听起来像是多此一举的麻烦，但恰恰是它让 ψ 能表现得像一道波：能有波峰波谷、能进能退，而最关键的是，当两部分错着步叠到一起时，它能把自己抵消掉。正是这种抵消，在双缝图案里刻出了那些暗纹。等我们更仔细地认识复振幅时会再倚重这一点；眼下，只要先记下：ψ 在每个点上携带的不止一个“高度”——它携带的是一个高度，外加一种“钟表指针”般的方向。
ψ(x) = a single (complex) number at every position x
x: ... -2 -1 0 1 2 ...
ψ: ... small big BIG big small ...
(tall where the particle is "more present")一句老实的提醒
千万别把 ψ 想象得太“实”。人们很容易把电子想成真的就是一小团弥散开的“物质云”，在 ψ 小的地方变得稀薄。可是，每当你真的抓到一个电子——在屏上、在探测器里——你找到的总是一个完整的电子、待在一个点上，从来不是一团涂抹，也从来不是一个零头。波函数是弥散开的；而粒子，一旦被抓到，并不是。把这两件事调和起来，正是下一篇要攻克的深层谜题；而它有一个美得出奇的简单答案：ψ 告诉你的不是粒子“在哪里”，而是它“有多大可能在哪里冒出来”。