缺失的那条说明书
上一篇我们认识了 ψ——一道弥散在空间里的波——并以一桩担忧收尾。波无处不在，可一个真实的电子，当你最终抓住它时，却是完整地出现在某一个点上。那 ψ 到底有什么用？知道这道波，并不能告诉你粒子究竟会在哪里（大自然根本就没有提前定好这一点）。它能告诉你的，是概率：你在这里、而不是那里找到粒子的可能性有多大。把 ψ 换算成这些概率的那条规则，正是量子数学与实验台之间的桥梁。它叫做玻恩定则，得名于 1926 年提出它的马克斯·玻恩（Max Born）。
把波取平方
这条配方短得令人愉快。要知道粒子在某个地方被找到的可能性有多大，就取那个地方的 ψ，再把它的“大小”平方：概率正比于 |ψ|²。两道竖线表示“……的大小”——我们丢掉那个复数的“钟表指针”方向，只保留它的长度——而那个小小的 2 表示把这个长度自乘一遍。ψ 大的地方，|ψ|² 更大，粒子极有可能在那里被找到。ψ 穿过零点的地方，|ψ|² 等于零，粒子在那里压根儿就找不到。
- 选定你关心的那个地方，读出波函数在那里的取值 ψ。
- 取它的大小（它的长度，不管那个复数方向）——记作 |ψ|。
- 把它平方：|ψ|²。这就是概率密度——概率在那个点上堆得有多“稠”。
- 把一片区域上的 |ψ|² 全加起来，就得到在该区域内任意处找到粒子的概率。
由于粒子可能在一段连续的位置范围内冒出来，最好别把 |ψ|² 直接当成概率本身，而要当成单位空间内的概率——一种密度，就像雾在每个点上堆得有多浓。要得到一个真正的概率，你得把这个密度在一片区域上加起来（积分）。|ψ|² 这个量有它自己的名字：概率密度。而被你取平方的 ψ 本身，则赢得了概率幅这个名字——叫“幅”是因为它是波的高度，叫“概率”是因为把它平方就得出了概率。
为什么要平方——而不直接用 ψ？
有两个很好的理由。第一，概率永远不能为负——不存在“−20% 的可能性”这种东西——可 ψ 却像任何波那样会正负摆动（还会是复数）。把一个数平方，就丢掉了它的正负号，得到的总是零或正数，这正是概率所需要的。第二，也更深刻：正是这一“平方”让干涉算对了。当波的两部分叠到一起时，你要先把 ψ 的值相加，之后再平方。如果两部分指向相反，它们会在平方之前就抵消，给出零概率——一条暗纹。要是反过来直接把概率相加，你就永远得不到这种抵消。大自然是最后才平方的，而这个先后次序，正是干涉图案的全部奥秘。
这究竟意味着什么
停下来体会一下玻恩定则有多激进。它说：我们对一个粒子最深刻的描述——它的波函数——给出的并不是粒子会在哪里的预言，而仅仅是各种可能性。把同一个实验重复一千遍，每一遍都用完全相同的 ψ，电子却会落在一千个略有差别的地方。这些落点构成的图案稳如磐石、可以预测；而每一次单独的落点，则不可预测。这并不是因为我们无知，或我们的仪器太粗糙。就目前所有人所能判断的而言，这种随机性是织进大自然本身的。爱因斯坦出了名地讨厌这一点——“上帝不掷骰子”——但此后的每一个实验都站在了玻恩这边。
所以，玻恩定则悄无声息地做了一件天大的工作。它是唯一的那个地方，让平滑的、决定论式的波动数学，触碰到了实际测量那个杂乱、随机的世界。只剩一个线头没收：如果 |ψ|² 真要算作概率，那么在某处——任何地方——找到粒子的可能性，加起来最好正好是 100%。把这件事坐实，正是下一篇那项虽小却不可或缺的工作。