为什么是“二分之一”？
我们已经看到，电子的自旋沿任意方向都只给出两个答案。物理学家用一个数字来概括这种“二”：电子是一个自旋-½粒子。别被这个分数吓到——眼下就把“½”当成一个标签，像血型一样，它只是表示“这种粒子在你测量它的自旋时恰好给出两个结果”。电子、质子、中子全都是自旋-½。别的粒子戴别的标签：自旋-1 的东西给出三个结果，自旋-0 的东西给出一个。这个标签数的是“台阶”的个数。
为什么用分数，而不直接用结果的个数？这源于很久以前人们给这些数字赋值的方式，单位与大自然角动量的基本量子绑定在一起。好用的规则是这样的：一个自旋-*s* 粒子给出 2s + 1 个可能结果。代入 s = ½，就得到 2(½) + 1 = 2——恰好就是斯特恩-格拉赫的那两个点。这个分数并不神秘；它就是那个能让计数规则得出“二”的数值。自旋-½ 是存在的最简单的、不平凡的自旋，这也正是每个物理学生都从这里起步的原因。
用两个数字来描述一个“两态”之物
如果自旋只有两个结果，你也许会猜一个数字就够描述它了——向上或向下，1 或 0。但上一篇讲的叠加逼出了更丰富的东西。在测量之前，电子可以同时处于向上与向下的任意混合之中：“大部分向上、掺一点向下”、“恰好五五开”，等等。要确定这种混合，你需要*两个*数字——一个说明掺进了多少“向上”，一个说明掺进了多少“向下”。这一对数字，竖排成一个两行的小列，就叫做一个旋量：自旋-½ 态在数学上的“门牌地址”。
spin up = [ 1 ] spin down = [ 0 ]
[ 0 ] [ 1 ]
a superposition = [ a ] <- "a" much up,
[ b ] "b" much down每个结果出现的可能性，来自把这两个数字平方（这是你会一再遇到的一条量子规则）。如果这个态恰好五五开，那么你测得向上的概率是 50%、向下也是 50%——像一枚公平的硬币，只不过这枚硬币在你抛出之前是真的没有答案的。旋量不过是这些“倾向”的一份诚实账本：用两个数字，装下存在的最简单量子对象的完整状态。
泡利矩阵：三个小方阵
如果一个自旋态是两个数字，那么*作用*于一个自旋——沿 x、y 或 z 方向测量它——就必须由某种能把一对数字变成另一对数字的东西来完成。担此重任最利落的工具，是三个由数字组成的小方阵，叫做泡利矩阵，对应空间中的三个方向各一个。它们很小——每个都只有两行两列——却把“自旋-½ 粒子在任意方向上被测量或被轻推时如何反应”的一切都编码了进去。沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli）在 1927 年把它们写了下来，从此它们就成了自旋研究的主力。
[ 1 0 ] [ 0 1 ] [ 0 -i ] Z = [ 0 -1 ] X = [ 1 0 ] Y = [ i 0 ] (the three Pauli matrices, one per spatial axis)
你不必去做矩阵乘法就能抓住要点。要点是：自旋那些听起来一团乱的规则——每条轴两个结果、五五开的混合、以及“沿 x 测量会把你原本沿 z 拿到的确定答案打乱”这一事实——全都自动地从这三个小方阵里落出来。泡利矩阵就是自旋-½ 的整本说明书，写在一张餐巾纸的背面。当物理学家用自旋造出量子计算机、或为磁场中的电子建模时，纸面上的符号就是它们。
把自旋画出来：布洛赫球
两个复数很难想象，于是物理学家找到了一个漂亮的把戏：单个自旋-½ 的每一个可能状态，都能画成一支指向某个球面位置的箭头。北极是纯粹的自旋向上，南极是纯粹的自旋向下，而球面上其他每一点都是某种特定的叠加——一个偏向上、或偏向下、或朝侧面的混合。这个“地球仪”就是布洛赫球，它把抽象的旋量变成了你的眼睛真能跟得上的东西。
有了描述状态的旋量、和执行操作的泡利矩阵，你现在就握有了宇宙中最简单量子系统的全套工具。它确实很小：两个数字、三个二乘二的小方阵。然而，藏在这个小工具包里的，是一个反直觉到值得单独写一篇的事实——当你把一个旋量在物理上整整转一圈时，会发生什么。答案就在下一篇，绝非任何人所能预料。