怎样才能真正把它解出来

从定律到真正的数字

我们已经搭起了一幅清晰的图景：薛定谔方程是运动定律，哈密顿量提供能量，定态是奖品，而不含时方程“Hψ = Eψ”才是我们真正去解的那个可处理的对象。但“把它解出来”听上去仍像一句咒语。本篇要揭开这套配方的神秘面纱——物理学家一次又一次抄起的两件日常工具：边界条件和分离变量。你不需要真的去算；你只要看清这些零件如何严丝合缝地拼到一起。

边界条件：边缘处的规矩

不含时方程，单凭它自己，太过慷慨了：它有数不清的数学解，其中大多数都是物理上的胡话——要么膨胀到无穷大、要么带着尖角折痕、要么描述粒子待在它根本不可能待的地方。为了挑出真正的、物理上的解，我们施加边界条件：波函数在问题边缘处必须遵守的额外规矩。它们其实是穿着数学外衣的常识。

保持有限。波函数不能跑向无穷大——粒子不可能“无限地有可能”出现在某处。
保持平滑。它必须连接起来，没有断裂、没有尖角折痕——这就是波函数连续性的要求。
尊重墙壁。凡是粒子真正去不了的地方（比如一个完全密封盒子的外面），波函数都必须降到零。

第二条规矩——不许断裂、不许尖角——重要到它有了自己的名字，波函数连续性。而下面这个回报，正是让整门学科成为“量子”的原因：一旦你要求波函数在墙壁之间平滑地嵌合、并保持有限，那么只有某些形状才能做到，而每一个被允许的形状都附带一个特定的能量。边界条件恰恰就是把那道连续的、可能能量的斜坡，削成一道离散台阶的东西。每一个原子的能级，不过就是那少数几个“其波函数恰好能嵌合”的能量罢了。

分离变量：分而治之

第二件工具对付的是复杂性。一个波函数可以同时依赖好几样东西——空间的三个方向，再加上时间。把它们全搅在一起较劲，简直是噩梦。分离变量这一招，是大胆假设答案能拆解成若干个相互独立的因子、每个变量一个，再彼此相乘——就像假设一道菜的味道是“辛辣的部分 × 甜的部分 × 咸的部分”，每一部分都能单独调。

  Ψ(space, time)   ≈   ψ(space)  ×  φ(time)

  one hard problem  ->  two easy problems
     in 2 things          each in 1 thing

分离变量：假设答案是若干单变量因子的乘积，把一个难方程变成几个容易的方程。

当这个假设奏效时——而对于标准教科书里的那些系统，它奏效得漂亮极了——那一个缠绕的方程就裂成了好几个简单的方程，每个只牵涉一个变量，你可以一个一个地解。事实上，你已经见过这一招最重要的用法了：把空间从时间里分开，恰恰就是把完整的含时方程，分离成那个简单的时间旋转、再加上不含时方程“Hψ = Eψ”的过程。分离变量，正是上一篇里给了我们那条捷径的那一步动作的正式名字。

这套配方，从头到尾

写出哈密顿量。为你的情形选定势能 V，加上动能项，你就有了 H。
分离变量。把空间从时间里分开，留下不含时方程 Hψ = Eψ，去求那些空间形状。
施加边界条件。要求波函数保持有限、平滑，并在该为零处归零——这就筛出了哪些形状和能量被允许。
读出能级。存活下来的解就是你的定态，每一个都标着它被允许的能量。
归一化。把每个波函数缩放一下，让它的概率加起来等于一——在某处找到粒子的总概率为 100%。

最后这道打磨，归一化，只是把整体的缩放定下来，好让概率诚实——它们必须加起来等于一，因为粒子总归确确实实在某个地方。把这套配方用在最简单的陷阱上——一个被关在两堵硬墙之间的粒子——你就得到了教科书里的盒中粒子：一道整齐的能量阶梯，和一组看上去和弦的谐波一模一样的驻波形状。它是量子力学的“Hello, world”，也是你离开本级阶梯后自然而然的下一步。