算符是“动词”，不是“数字”
你从小接触的大多数“数”都是名词：7 就静静地待在那儿，外面的气温是多少就是多少。算符不一样——它是个*动词*。它是一条指令，把某样东西“吃进去”，再“吐出”另一样东西。“把它翻倍”就是一个算符：你喂给它 3，它就还你 6。“取斜率”也是一个算符：你喂给它一条曲线，它就还你另一条曲线。在量子力学里，量子算符正是这种指令，只不过它作用的对象，是对一个物理系统的描述。
它作用在什么之上呢？一个量子系统的完整描述，就是它的状态；而把这个状态写下来的一种很常见的方式，就是波函数——你暂时可以把它想成一团弥散开来的“云”，它告诉你一个粒子大概会在哪里被找到、又在怎样运动。算符则伸进这团云里，把它重新塑形。所以要记住的那句口号是：状态是那个*东西*，而算符是*你对它做的某件事*。
物理为什么非要用“动词”不可
在日常物理里，一个粒子就是单纯地*拥有*一个位置、*拥有*一个速度——两个数，摆在那儿等你读取。量子力学打破了这幅令人安心的图景。在你测量之前，一个粒子通常根本就没有一个确定的位置；它是真真切切地像那团云一样弥散开来的。于是“位置”再也不能是粒子默默携带着的一个数了。取而代之的是，位置变成了一个*你提出的问题*——而提问，本身就是一个动作。这个动作，就是算符。位置算符 x̂ 实际上就是那条指令：“向这个状态询问它的位置”。
每一个可测量的量，都以这种方式获得它自己的“动词”。动量（质量乘以速度，大致就是“运动带着多大的劲头”）得到动量算符 p̂；总能量则有一个赫赫有名、专属于它的算符，叫哈密顿量 Ĥ。每一个都是你能对同一个状态施加的不同动作——就像用不同颜色的光去照同一个物体，照出它不同的特征。状态只有一个；而算符，是你能向它提出的许许多多个问题。
算符究竟对波函数做了什么
我们用最温和的例子把它落到实处，好让这份抽象有个可以抓住的把手。取一个波函数 ψ(x)——一条画在各个位置 x 上的曲线。两个最常用的“主力”算符，对它所做的事简单得出人意料。
- 位置算符 x̂ 只是把波函数乘上 x。x 大的地方，曲线被拉得高高的；在 x = 0 附近，则原封不动。写成符号就是 x̂ ψ(x) = x · ψ(x)。它做的全部，就这么多。
- 动量算符 p̂ 取波函数的斜率（它的导数），再乘上一个固定的常数。陡峭、快速摆动的波带着更多动量；平缓、慵懒的波带的动量更少。所以动量实实在在地被编码在“波起伏得有多快”里。
请留意这有多自然。早在我们认识物质波的时候，就已经隐约感到：一个摆动得很密的波，应该意味着“又快又有劲的运动”。动量算符不过是把这种直觉正式化了：要问“有多少动量？”，你就去量这个波斜得有多陡。算符并不是硬塞进来的一条任意规则——它恰恰是把波本来就一直携带着的某个特征“读出来”的精确办法。
那些“动词还你一个数”的特殊状态
通常，作用一个算符，还回来的是一个*形状不同*的波函数——你放进一条曲线，得到的是一条新的。但对每个算符来说，都存在一些受了“眷顾”的特殊状态，在它们身上会发生一件神奇的事：算符还给你的，是*完全一样*的形状，只不过被一个数放大或缩小了。正是在这些状态里，那个物理量才真正具有一个确定的值。这层小小的关系——算符作用在状态上，还回同一个状态乘以一个数——重要到拥有专属名字，叫本征值方程；下一篇会整篇专门讲它。
退后一步，整座建筑的轮廓就尽收眼底了。一个量子系统*就是*一个状态。你能测量的每一个量*都是*一个算符——一个作用在那个状态上的动词。提一个问题，就是施加这个动词；它能原样还回的那些罕见状态，正是带着确切答案的状态；而线性代数的语言把这一切系在了一起。请稳稳记住这个框架，因为接下来的四篇，无非是每次放大它的一个角落：哪些算符算得上是物理的、它们的特殊取值意味着什么、如何预测平均值，以及为什么有些问题无法被同时回答。