“可观测量”：其实就是“能测的东西”的文绉绉说法
一个可观测量，无非就是一个物理量：原则上你可以拿一台真实仪器对准它、读出一个数——位置、动量、能量、一块小磁铁指向的方向，都是。上一篇已经把关键的想法交给你了：每一个这样的量，都由一个算符来代表，也就是一个作用在状态上的动词。“可观测量”这个词，只是当我们想强调它的*物理*面（它是可测的）、而非*数学*面（它是个算符）时才用的说法。同一个对象，戴着两顶帽子。
真正深刻、也真正出人意料的问题是：一次测量到底*能*产生哪些数？在经典物理里这很无趣——一份能量可以是任意取值，连续平滑。在量子物理里，这却是全部的好戏所在。对许多可观测量来说，被允许的取值只是一份固定的、往往还彼此分得很开的“菜单”。一个原子的能量是一阶一阶离散地来的；一个电子的自旋，沿任何一条线去测，结果都只会是“上”或“下”，绝不会出现两者之间的任何值。本文要做的，就是说清这份“菜单”是从哪儿来的。
本征态：带着确定答案的状态
回想上一篇里那些神奇的状态——算符还回来时形状原封不动、只是被一个数放大缩小的那些。它们值得有个名字。一个状态，若某可观测量的算符把它*原样还回、只乘上一个常数*，就称为那个可观测量的本征态。德语前缀“eigen-”意思是“自己的”或“固有的”：本征态就是一个在那个算符之下*保有它自身特征*的状态——算符不会把它扭成新形状，只会把它整体缩放。
而那个缩放常数——状态被乘上的那个数——就是本征值。下面是点睛之笔，是本文最重要的一句话：一次测量可能给出的结果，恰恰就是该可观测量的那些本征值；而在你拿到结果的那一刻之后，系统就停留在与之相配的那个本征态上。如果你的能量计永远只能读出某些值，那正是因为能量算符只有那些本征值。允许出现的结果所组成的那份离散“菜单”，不是别的，就是这个算符的本征值清单。
把本征值方程大声读出来
上面这一切，都浓缩在一行整洁的式子里，叫本征值方程。别被符号吓退——把它当成一句中文话来读，几乎就是显而易见的。
 |ψ⟩ = a |ψ⟩ | | | | | | | +-- ...the SAME state |ψ⟩, | | +----- ...gives back a number a (the eigenvalue) times... | +------------- ...acting on a special state |ψ⟩ (an eigenstate)... +----------------- The operator  (the observable)...
这里的 |ψ⟩ 只是“状态 ψ”的一种紧凑写法（那对尖括号是量子物理里的标准简写，你以后会正式认识它）。这个方程说的是：特殊状态 ψ 是这样一个状态——算符 Â 让它仍指向原来的方向，只把它拉伸了 a 倍。把每一个满足这条关系的状态都找出来，再把所有相配的 a 收集起来，你就建好了“测量 Â 所能给出的全部取值”的完整清单。这，简直就是字面意义上的——预测*哪些结果是可能的*，全部内容就在这里。
可大多数状态并不是本征态
下面这一段，初学者会觉得真的很惊人，所以请放慢脚步。一个典型的状态，*并不是*你想测的那个量的本征态。它是一种混合——一个叠加态——同时由好几个本征态调和而成，就像一个和弦里含着好几个音符，而不是一个单纯的纯音。这样的状态，在你测量*之前*，对那个可观测量根本没有单一的确定值。这并不是说那个值被藏着不让你看见；而是它确确实实还没有定下来。
那么，当你去测量这样一个“和弦”时，会发生什么？你仍然得到的是其中*某一个*本征值——绝不会是介于其间的某个数——但*究竟是哪一个*，则取决于概率。决定这份概率的规则，就是玻恩定则：某个本征态在这个混合中占的分量越重，它对应的本征值出现的可能性就越大。和弦里响得最大的那个音，正是你最可能听到的那个。而就在结果出现的那一瞬间，这个和弦塌缩成了那个单音：系统跳进与之相配的本征态，此后再测一次，必定给出同样的答案。
把它收拢起来。一个可观测量，是一个可测的量，由一个算符承载。它的本征值，是测量唯一可能给出的取值；它的本征态，则是干脆利落地拥有其中某个值的那些状态。真实的状态通常是混合体，所以一次测量会按玻恩定则给出的概率，在各本征值之间“下注”，然后把系统“啪”地定到它落中的那个本征态上。你早已见过的那些能级——比如一个被困住的粒子的一级级“台阶”——正是能量算符的能量本征态上演的这同一个故事。接下来我们要问一个更尖锐的问题：一个算符究竟得满足什么条件，它的本征值才能首先是合情合理、实实在在的测量读数？