藏在明面上的那条约束
退回到一件明摆着、我们却从没费心说出口的事。当你测量一个长度、一份能量、一个温度时，你的仪器显示的是一个实数——3.7，或者 −12，或者 0。它绝不会显示一个*虚*数，比如“2 加上 5 乘以负一的平方根”。虚数在数学里完全是体面正当的，可地球上从没有哪根指针指向过一个虚数。真实的测量给出实数结果。就这么简单。
现在回想我们上一篇搭起来的东西：测量一个可观测量，可能的结果就是它对应算符的本征值。把这两个事实并排放在一起，一条要求就掉了出来，避无可避而且严格。如果在物理上唯一说得通的测量结果只能是实数，那么一个真实可观测量所对应算符的每一个本征值，都最好是实数。一个本征值有可能算出虚数的算符，根本无法代表任何你能用仪表测出来的东西。那么，究竟哪些算符能被保证只有实本征值呢？这正是本文要回答的全部问题。
厄米：那种“自我镜像”的性质
能通过这道考验的算符，叫厄米算符（得名于数学家夏尔·埃尔米特，Charles Hermite）。它的精确定义要用到我们还没搭好的工具，所以这里换上诚实的直觉来讲。每个算符都有一个“镜像孪生体”，由一道固定的“配方”做出来（把行与列对调，再把每个数换成它的复共轭——也就是把虚部取相反数）。一个算符，当它就是自己的镜像时，便是厄米的——也就是说，把它过一遍那道配方，得回来的恰恰就是你一开始的那个算符。它在一种深刻的意义上是对称的；它在镜子里和正面看上去一模一样。
“等于自己的镜像”为什么会逼出“所有本征值都是实数”，这一点一点也不显而易见——但它确实如此，可以严格而精确地证明。这条证明两行就能讲完，几乎带着诗意：先假设有某个本征值，再透过算符那种“自我镜像”的对称性去看它，你会发现这个本征值必定等于它自己的复共轭。而一个等于自身共轭的数，已经不剩任何虚部可言——它*就是*实数。算符的对称性，让本征值无处可藏其虚部。
厄米性附赠的两份大礼
本征值为实，是最显眼的那项好处；但“是厄米的”还悄悄塞给你另外两份大礼，而且这两份对量子力学余下的部分都极其要紧。
- 不同的结果，给出干净可分的状态。属于不同本征值的本征态，彼此竟是“相互垂直”的——它们是互不重叠的独立方向。这就构成了一组整洁的标准正交基，也就是一套干净的参考方向，正是你想要的：能毫不含糊地把各个结果区分开来。
- 任何状态都能由这些本征态搭出来。一个厄米算符的本征态足够“丰富”，以至于*任何*状态都能写成它们的某种混合——这条保证叫做“完备性”。正是它，让我们有底气说“状态是各测量结果的叠加”，这也正是玻恩定则背后的引擎。
这两份礼物合起来说的是：一个厄米可观测量，把整个状态空间切分成一组干净、互相独立的“测量结果方向”，而你交给它的任何状态，都不过是这些方向的一份加权混合。把一个状态如此分解——分解成带实本征值的本征态——是如此根本，以至于自有其名，叫谱分解。厄米性绝不是吹毛求疵的技术细节；它正是那条让“测量”这件事在数学上根本说得通的性质。
把要点说白了
所以整条逻辑串成了一条干净的链子。仪表显示实数 → 测量结果是实的 → 一个物理可观测量的本征值必须是实的 → 因此物理可观测量都由厄米算符来代表，而厄米算符恰恰就是被保证拥有实本征值的那一类。外加一份赠礼：这些厄米算符还自带干净、完备的本征态集合，于是任何状态都能整整齐齐地分解成可测的结果。今后每当你看到“位置”“动量”“能量”或“自旋”被写成一个算符，你都可以当成既定事实：它是厄米的，而且是有意为之——好让你测出来的，能是一个仪表盘上真显示得出来的数。