单掷是随机的；多掷却有规律
前几篇我们停在了一个令人不安的音符上：准备出一模一样的量子状态、测量一模一样的可观测量，你每一次却可能得到不同的答案。单次的结果，真真切切就是掷一次骰子。这听起来像是物理放弃了预测。其实并没有——它只是改变了*预测什么*。一颗骰子掷一次，你同样无法预言结果，可你却能非常有把握地说：掷一千次的平均值，会非常接近 3.5。量子力学走的，正是这一步棋。
量子力学能十足有把握地预测的那个量，是你把同一个新鲜准备好的状态反复测量后会得到的平均结果。这个被预测的平均值有个名字：期望值。这个词稍微有点误导——它并不是你在任何单次测量里“期望”真会看到的值。（一颗骰子的期望值是 3.5，可骰子永远不会停在 3.5 上。）它是许多次测量的*长程均值*，也是整个量子物理里最有用的数之一。
怎么算它：一个加权平均
如果你跟下来了前两篇，那么预测这个平均值所需的一切，你其实都已经有了——它不过是一个普普通通的加权平均，跟老师算成绩用的是同一套算术。可能的结果，就是这个可观测量的本征值。每个结果的权重，就是它的概率，由玻恩定则定下。把每个可能的值乘以它出现的可能性，再把这些乘积加起来，你就得到了均值。
- 列出可能的结果——也就是你要测的那个可观测量的本征值 a₁、a₂、a₃、……
- 由玻恩定则找出每个结果的概率 p₁、p₂、p₃、……——也就是每个本征态在你这个状态的混合里占多重的分量。
- 相乘再相加：平均值 = a₁p₁ + a₂p₂ + a₃p₃ + ……。这个和，就是期望值。越可能出现的结果，越会把平均值往自己这边拉。
一个快速的合理性检验，能让它变得真切。假设一个电子沿某条轴的自旋，以 75% 的概率给出 +1、以 25% 的概率给出 −1。那么期望值就是 (+1)(0.75) + (−1)(0.25) = 0.5。没有任何单次测量会给出 0.5——你只会看到 +1 或 −1——可一旦把几千次的结果取平均，结果就会收拢到 0.5。期望值就活在那些离散结果之间的“缝隙”里，用一个诚实的数，把整片分布概括了起来。
用算符算的那条漂亮捷径
加权平均那套配方是对的，可它逼着你先把每一个本征值和概率都找出来——很费劲。量子力学提供了一条漂亮的捷径，直接用算符本身一步跳到答案。你把算符“夹”在状态和它的一份镜像副本之间，这个写法记作 ⟨ψ| Â |ψ⟩，读作“Â 在状态 ψ 上的期望”。这条紧凑的配方，就是以算符“三明治”写出的期望值。你在这里不需要亲手把它算出来；要点在于：平均值被直接编码进了状态和算符里，无需绕道去一一列举所有结果。
期望值还是通往日常物理的那座桥。去追踪一个粒子的平均位置如何随时间变化，你会发现它移动的方式，几乎和牛顿定律所说的一个球该怎么动一模一样——量子的平均值，遵守的是我们熟悉的运动方程。这就是为什么一块被扔出去的石头会划出一条干净的弧线，尽管它里头的每一个原子都是一团模糊的量子云：在日常尺度上，期望值如此尖锐、分布如此微小，以至于就一切实际用途而言，平均值*就是*那个值。均值，正是量子世界悄悄把接力棒交还给经典世界的地方。
光有平均值，还不是故事的全部
收尾之前，说一句诚实的提醒。平均值能掩盖天差地别的情形。一个总是恰好给出 0.5 的状态，和一个 +1 与 −1 各占一半的状态，可以共享*同一个*期望值，行为却完全不同。所以物理学家会给期望值再配上第二个数，用来衡量结果在它周围散得有多开——这就是标准差，也就是单次结果离均值的典型距离。“平均值加上离散程度”合在一起，既抓住了结果聚拢在哪里，也抓住了任何单次结果有多么难以预料。
这份离散绝不是一条脚注——它正是通往下一个想法的门。一个可观测量里那份无法避免的散布，其大小竟由一条深刻的定律，与另一个可观测量里的散布锁死在了一起。为什么有些成对的量永远无法被同时钉死，正是最后一篇里等着我们的问题；而它的关键，系于算符的一个微妙性质：你施加它们的*先后顺序*要不要紧。