顺序什么时候要紧？
有些动作，无论你以什么顺序去做，结果都一样。先穿左袜再穿右袜，或者先右后左——两种顺序结果相同。另一些成对的动作，则绝对取决于顺序：先穿袜子再穿鞋，没问题；先穿鞋再穿袜子，那就是场灾难。对后面这一对，顺序*要紧*；对前面那一对，则*不要紧*。万万没想到，正是这个再朴素不过的区别，原来就是量子不确定性最核心的那个秘密。
别忘了，算符就是动作——你施加在状态上的动词。所以我们可以对任意两个算符问同样的问题：如果我先作用算符 Â、再作用 B̂，得到的东西，会和先作用 B̂、再作用  一样吗？对某些成对的算符，会一样——顺序无关紧要。对另一些，则不一样——这两条路线落到的，是真真切切不同的状态。衡量这两种顺序之差的那个装置，就叫对易子，记作 [Â, B̂]。按定义，它无非就是“先  后 B̂，减去先 B̂ 后 ”。
[Â, B̂] = Â B̂ - B̂ Â
| | |
| | +-- do B̂ first, then Â
| +----------- do  first, then B̂
+--------------------- the gap between the two orders
= 0 -> order does NOT matter (they "commute")
≠ 0 -> order DOES matter (they do not commute)对易，意味着“可以同时知道”
下面就是让对易子真正要紧的那段物理。当两个可观测量的算符相对易——也就是它们的对易子等于零时——它们被称为相容可观测量，于是一件美妙的事随之而来：它们可以共享同一批本征态。一个状态可以*同时*是两者的锐利本征态，对每一个都持有一个确定的值。这意味着，你可以同时精确地知道这两个量，不必付出任何取舍代价。测量其中一个，不会把另一个搅模糊。
当这两个算符*不*对易时，这两个可观测量就是不相容的，那扇门便砰地关上了。它们无法共享一整套本征态，所以没有任何状态能在两者上同时都很锐利。逼着其中一个变得完全确定——把它精确测出来——另一个就必然被抹散在许多可能的取值之上。这不是你设备的失误；它就镌刻在状态本身的结构里。那个非零的对易子，正是“这两者永不能同时锐利”的数学指纹。
物理学里最有名的那个对易子
最招牌的例子，就是位置和动量。我们早先见过它们的算符：x̂ 把波函数乘以位置，p̂ 读取它的斜率。把它们以两种顺序作用一遍——这件事一生中值得亲手做一次——它们是真的对不上。“先按 x 拉伸，再取斜率”，和“先取斜率，再按 x 拉伸”，并不是一回事，因为拉伸这一步，恰恰改变了你即将去读的那个斜率本身。它们的对易子不为零。事实上，它等于一个固定的、极小的常数（由普朗克常数搭成），而这条精确的关系如此核心，以至于自有其名：正则对易关系。
正因为位置和动量不对易，它们是不相容的：没有任何状态能在同一时刻既有完全确定的位置、又有完全确定的动量。把一个粒子在哪儿钉得分毫不差，它的动量就变得极度不定；把它如何运动钉得分毫不差，它的位置就在空间里抹散开来。这不是你能想办法绕过去的一点小怪癖——它正是被那个唯一的非零对易子逼出来的。这样无法拆开的成对量，就叫共轭变量。
不确定性就是从这里来的
现在，上一篇留下的那个线头收住了。我们说过：一个可观测量里那份无法避免的散布，与另一个可观测量里的散布锁死在一起。对易子，正是那把锁。有一条精确的定理——海森堡不确定性原理——它说：这两份散布的乘积，永远不可能低于一道由它们对易子的大小所设定的“下限”。如果对易子为零（相容），这道下限就是零，两份散布可以一起缩到无穷小。如果对易子不为零（不相容），这道下限就抬离了地面，把其中一份散布压下去，就逼着另一份升上来。不确定性不是含混，也不是无知；它是算符“拒绝对易”所带来的、直接而定量的后果。
至此，整条轨道“咔哒”一声合成了一个闭环。一个可观测量，是一个厄米算符；它的本征值，是你能测出的那些实数结果；期望值，是它们的长程平均；而两个算符之间的对易子，则裁定这两者能否同时锐利——若不能，又必须模糊到何种确切程度。算符不是记账用的小工具。它们是一套语法，规定了大自然究竟肯不肯让你同时知道哪些事。