概率必须永远加起来等于一
我们从一个明显到容易被忽略的要求出发：每当你测量某个量时，*总得*有某个结果发生。电子的自旋要么测得向上、要么向下；所有可能答案的几率加在一起，必须恰好等于一——即“*总有什么*会发生”的概率为 100%。我们先前已经把这一点内置进去了：通过坚持要求每一支态箭头长度为一，也就是归一化条件。本篇要回答的问题是：随着时间流逝、状态发生变化，是什么始终把那个总和钉在一上？这件事不能听天由命。
量子态并非冻结不动；它们会演化。一个不受打扰的系统，会随着一秒秒的流逝，从一个状态平滑地滑向另一个状态——这就是时间演化，由薛定谔方程主宰。所以，当态箭头在希尔伯特空间中摆动时，我们需要一个保证：它绝不会悄悄地变长或变短，因为长度的变化将意味着概率不再加起来等于一——一个 90% 的宇宙，或者一个 110% 的宇宙，两者都荒谬不通。
规则：演化是旋转，绝非拉伸
下面就是那个优雅的答案。量子的时间演化被要求是保长度的：它可以让态箭头转向一个新的方向，但绝不可以把它拉长或缩短。想象一支刚硬的箭头，被钉在原点，可以自由地摆向单位球面上的任何地方，却被禁止伸缩。这种“只旋转、不拉伸”的性质有一个名字——这样的演化由一个幺正算符来描述，而“一切演化都如此行事”这条原理，就叫做幺正性。
由于一次幺正演化不仅保持长度，还保持一切重叠 ⟨φ|ψ⟩，它也就保持了状态之间的夹角。两个原本可被完美区分的状态（重叠为零），随着时间推移依旧可被完美区分；两个原本部分相似的状态，则保持它们相似的精确程度不变。整个状态空间的几何，作为一个刚性整体一同转动。没有什么被创造，没有什么被毁灭，也没有什么被模糊——这套构形只是被旋转了一下而已。
为什么我们可以信赖这一点
幺正性并不是为了整洁而额外栓上去的假设——它本身就从薛定谔方程中推导而来。那个方程有一种特定的形态（围绕一个叫做哈密顿量的特殊对象而构建），这一形态在数学上迫使由它给出的演化必然是一种保长度的旋转。所以，一旦你接受了那条基本的运动方程，总概率的守恒便不请自来、自动成立，在每一个瞬间都成立。你无需不停地去查账；动力学已经替你把账目结平了。
- 总概率必须等于一——“总有什么会发生”是确定的。这就把态箭头的长度定在了一上。
- 状态随时间演化，所以箭头会摆动——它的摆动必须不改变长度，否则总和就会偏离一。
- 保长度的摆动就是旋转：一个幺正算符。“演化永远是幺正的”这一原理，就是幺正性。
- 薛定谔方程为它提供了保证，于是概率自动守恒——无需手动结平。
唯一看似的例外：测量
一篇诚实的导览，必须标出这幅平滑图景似乎破裂的那个地方。当你真正去*测量*一个系统时，状态看起来会突兀地跳变——一个叠加态猛地塌缩为单一确定的结果。那个跳变*并不是*一次温和的幺正旋转；它是陡然的、带有概率性的，而如何把它与平滑演化调和起来，正是量子力学那个著名的、至今仍争论不休的测量问题。我们不打算在这里解决它。公允的总结是：在两次测量*之间*，演化是完美幺正的，概率被精确守恒；那个看似的跳变只发生在测量的那一刻，而那里究竟发生了什么，是物理学最深的未解之谜之一。
至此，这门语言已经握在你手中。你可以把一个状态写成右矢，用左矢去探测它，求出它的重叠，把它安放进希尔伯特空间，沿一组基把它展开，并看着它随时间作幺正旋转。这五个想法——状态即箭头、左矢-右矢、希尔伯特空间、基、幺正性——是整门学科的承重梁。一切更高深的内容都建立在它们之上，而你现在已经知道，是什么在支撑着这一切。