图像帮我们入门，却很快用尽
如果你以前接触过任何量子力学，多半是以图像的形式遇到的：电子是一团模糊的云，粒子暗地里其实是一道波，一只猫不知怎地同时既活着又死了。这些图像并没有错，对于体会量子世界有多奇异，它们也妙不可言。但它们有极限。你若向一幅图像提出一个精确的问题——这次测量*究竟*有多大可能、若把两个这样的东西合在一起会怎样、状态在下一秒里如何变化——图像就会变得含糊。要给出精确的回答，物理学家需要图像之下的某种东西：一种精确的语言。
这种语言就是这一级阶梯的主题。它是数学性的，但别因此害怕——它的核心是一个简单的、几乎可以说带有几何味道的想法，外面只是套了几个巧妙的符号。读完这五篇导览，你将能读懂出现在每一本量子教科书和论文里的记号；更重要的是，你会明白它到底在*说什么*。
一个核心想法：状态是一种“箭头”
整个秘密用一句话就能说完。某一时刻你能够知道的关于一个量子系统的一切，都被装进一个单一的对象里，这个对象叫做它的量子态。而这个对象在数学上的行为，就像一支箭头——一个向量——栖居在一个抽象空间之中。它不是普通空间里指向北方或上方的那种箭头，而是一支住在一个专门为容纳量子态而搭建的特殊空间里的箭头。正因为它是一支箭头，我们才把它叫做态矢量。
一旦你接受“状态是一支箭头”，许多事情就会同时各就各位。一个叠加态——粒子“既在这里又在那里”——不过就是两支箭头相加。你或许见过的那个著名的波函数，也就是那条弯弯曲曲的图像 ψ(x)，原来只是把同一支箭头*写下来的一种特定方式*：即把它沿每一个可能位置上投下的“影子”逐一列出。箭头才是真正的东西；波函数只是它的一套行头。
这门语言必须完成的几件事
一门好的量子力学语言，需要完成的活儿其实不多。它必须让我们能够干净利落地给一个状态命名，能够追问一个状态与另一个状态有多少“重叠”（概率正是由此而来），能够描述当我们测量某个量时会发生什么，以及能够跟踪一个状态如何随时间演变。这份清单上的每一项，都会化作你在接下来几篇导览中将要遇到的形式体系的一个部件。
- 给状态命名。狄拉克的左矢-右矢记号为每个状态配上一个整洁的符号，例如 |ψ⟩——下一篇详谈。
- 把所有状态安置在一起。它们栖居在同一个共享的舞台上，即希尔伯特空间——第三篇。
- 用简单的状态搭出任意状态。一组完备的基提供了这些“积木”——第四篇。
- 让状态穿越时间而不丢失概率。这一保证就是幺正性——第五篇。
请注意，测量贯穿了上述一切。我们真正从实验仪器上读出的那些量——能量、位置、自旋——被称为可观测量；在这门语言里，每一个可观测量都由一种作用于箭头之上的特殊对象来处理。这里我们只点到为止，留待以后正式认识；眼下的要点是：同一幅“箭头加空间”的图景承载着一切，连“观看”这个动作本身也包括在内。
为什么值得费这番抽象的功夫
你大可发问：既然波函数已经管用，何必非要爬进一个抽象的箭头空间不可？老实的回答是：抽象之所以值得，是因为它能*统一*。波函数 ψ(x) 对于一个沿直线运动的粒子来说极好用。但电子的自旋根本就没有位置——它只有两种取值，向上和向下——于是没有任何弯曲的图像可画。可自旋仍然是一个量子态，仍然是一支箭头，仍然是某种你可以相加、缩放并测量的东西。箭头语言用*完全相同的规则*同时涵盖了自旋的电子和滑行的粒子。一套框架，囊括所有系统。
这就是全盘的计划。我们要一步一个温和的脚印，搭起这门“图像背后的语言”——你会发现，它与其说是一堵数学高墙，不如说是一个优雅的想法，被拉伸开来去贴合整个量子世界。翻到下一页，让我们来学习如何把一支箭头写下来。