一个名声大噪的符号
1920 年代后期，年轻的英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）一直在寻找把量子力学写下来的、尽可能最干净的方式。他 1930 年那本著名的教科书奠定了基础，而他最终敲定的这套记号——在 1939 年一篇短文里加以打磨，并写进了那本书后来的版本——好到我们至今仍基本原封不动地沿用。一旦你学会它，就再也无法对它的精巧视而不见。它叫做左矢-右矢记号，整套记号建立在一个妙得有点傻气的双关语之上，这一点我们稍后会讲到。
回想上一篇说过，量子态其实就是一支箭头。左矢-右矢记号不过是一种极其经济地写下这支箭头、并对它做运算的方式。这里没有任何在精神上你尚未见过的东西——只是为它配上了一种崭新而极其紧凑的“书写体”。
右矢：装在“盒子”里的状态
为了写下一个量子态，狄拉克把一个标签裹进一个朝左开口的半个盒子里，像这样：|ψ⟩。这个对象叫做右矢（ket），它代表一支态箭头。里面那个花体符号，这里是 ψ，只是一个名字——你同样可以写成 |猫⟩、|电子在这里⟩、|自旋向上⟩，或者用 |0⟩ 和 |1⟩ 来表示一个量子比特。括号承载着“这是一个状态”的含义；里面的标签只是说明这是*哪一个*状态。
因为右矢是一支箭头，那两个“箭头戏法”依旧成立，而且现在看起来非常干净。你可以用一个数去缩放一个右矢，写作 c|ψ⟩；你也可以把两个右矢相加，|ψ⟩ + |φ⟩，得到一个新状态。那个和就是一个叠加态——至此，终于用它天然的“字母表”写了出来。
|psi> a state (a "ket") c |psi> the same state, scaled by a number c |psi> + |phi> a superposition: two states added Examples: |up>, |down>, |0>, |1>, |here>, |cat alive>
左矢：把状态变成一个“提问”
现在说那个双关。狄拉克想要一个朝另一边开口的搭档符号，一个朝右开口的半个盒子：⟨φ|。他把它叫做左矢（bra）。妙处在于：当你把一个左矢推到一个右矢跟前——⟨φ| 紧挨着 |ψ⟩——这两半就会咬合成一个完整的括号（bracket）：⟨φ|ψ⟩。bra-ket（左矢-右矢）。（狄拉克确实就是把单词 “bracket” 一劈为二来给它们命名的。）如果说右矢是一个静静待在那里的状态，那么左矢最好被理解为一个朝着状态发出的*测量式提问*。
每一个右矢 |φ⟩ 都有一个与之配对的左矢 ⟨φ|；左矢是同一支箭头从一个“搭档空间”看过去的样子（数学家把它叫做对偶空间，但你不需要这个词也能使用这套记号）。一个左矢和一个右矢合在一起所做的最重要的一件事，就是组成 ⟨φ|ψ⟩——这是一个普通的数，它告诉你状态 |ψ⟩ 与状态 |φ⟩ 有多少“重叠”。这个数就是两个状态的内积。
为什么“重叠”就是全部的关键
括号 ⟨φ|ψ⟩ 之所以重要，是因为物理正是从这里进入的。假设一个系统处于状态 |ψ⟩，而你问：“它处于状态 |φ⟩ 吗？”那么重叠 ⟨φ|ψ⟩ 恰恰就是得到“是”这一结果的概率幅。要把一个概率幅变成一个货真价实的概率，你取它的大小再平方——写作 |⟨φ|ψ⟩|²。这条平方法则就是著名的玻恩规则；在你今后的整个量子生涯里，你都会看到它穿着这套记号出现。所以这个不起眼的括号绝非装饰：它是从抽象箭头通往一个可与实验对照的数字的桥梁。
有两个特例值得你随身揣着。第一，⟨ψ|ψ⟩，即一个状态与自身的重叠，量度的是这支箭头长度的平方；我们通常坚持要它等于 1——这无非是在要求“所有结果的概率加起来等于 1”（即归一化条件）。第二，若 ⟨φ|ψ⟩ ＝ 0，则两个状态可被完美区分——测量其中之一绝不会被误认成另一个。这两个事实——归一化的状态与正交的状态——是今后几乎每一次计算的语法。
把各个零件拼起来
- 看到 |ψ⟩ 了？把它读作“一个叫 ψ 的状态”——一支箭头。别把符号想得太复杂。
- 看到 ⟨φ| 了？把它读作“那个提问：有多像 φ？”——一个被转化为探针的状态。
- 看到一个完整的 ⟨φ|ψ⟩ 了？它是一个数：重叠，也就是“是的，它是 φ”这一答案的幅。
- 想要一个概率？把它的大小平方：|⟨φ|ψ⟩|²。那就是实验可以核对的数字。
这就是全部的字母表：右矢表示状态，左矢表示提问，括号表示重叠。它在纸面上看似单薄，然而正是这一小套符号，足以表达量子力学里的每一句话——从单个量子比特，到整个电磁场。下一篇里，我们要问：所有这些箭头究竟栖居在哪里——那个让整门语言得以浑然一体的空间。