不报出方向，却要指出方向
假设我递给你一支希尔伯特空间里的箭头，请你精确地描述它。在电话里说“它朝那边指”可不行。无论在普通空间还是在量子力学里，人人都用的窍门是：先就几个参照方向达成一致——东、北、上——然后用任意箭头沿每个方向各伸出多远，来描述它。“向东三步、向北两步”就把一个点精确钉死了。这组约定好的参照方向就叫做基，而学会使用一组基，正是贯穿整个这一级阶梯的核心实用技能。
用量子语言说，一组基就是一组特殊的状态——叫它们 |1⟩、|2⟩、|3⟩，等等——被选作参照方向。这样，任意一个状态 |ψ⟩ 都可以写成它们的加权和：|ψ⟩ ＝ c₁|1⟩ ＋ c₂|2⟩ ＋ c₃|3⟩ ＋ …… 你会立刻认出右边那一串：它就是一个叠加态。所以“把一个状态写在某组基里”和“把一个状态表达成基态的叠加”，是完全相同的一件事。
什么样的基才算好：正交归一
并非每一组参照方向都同样好用。最理想的选择是正交归一基，一个吓人的词，背后却只是两个简单的要求。*正交*（ortho-）：各个基态彼此成直角，于是它们的重叠为零——只要 i 与 j 不同，⟨i|j⟩ ＝ 0。*归一*（normal）：每个基态长度为一——⟨i|i⟩ ＝ 1。合起来：这些积木大小一致、彼此截然有别，就像干净的“东—北—上”坐标轴，而不是一组歪斜、相互重叠的方向。
正交归一性带来的回报，是一个便利的小奇迹：展开式里的每一个系数 cᵢ，都不过是一个你能直接读出的重叠，cᵢ ＝ ⟨i|ψ⟩。想知道你的状态里“含有多少 |1⟩”，你只需取那个括号 ⟨1|ψ⟩——无需求解，毫不费事。这是你或许在普通向量里见过的那个窍门在量子世界的回响：要取得一个分量，就把它投影到对应的坐标轴上。
|psi> = c1|1> + c2|2> + c3|3> + ... each coefficient: c_i = <i|psi> (just an overlap!) orthonormal means: <i|j> = 0 if i != j , <i|i> = 1
完备：不漏掉任何东西
一组基还必须是完备的——它提供的方向必须足够多，多到通过组合它们就能抵达*每一个*可能的状态，没有任何东西被漏在外面、是这组基所无法描述的。在三维空间里，光有东和北并不完备；你会漏掉所有上上下下的方向。一组完备的集合不留任何缺口。正是完备性，保证了展开式 |ψ⟩ ＝ Σ cᵢ|i⟩ 对任意状态都真正成立，而不只是对某些走运的状态成立。
物理学家把“正交归一且完备”浓缩进一句优雅的陈述，叫做完备性关系。它的精确形式你以后会遇到；用大白话说，它无非是“这些积木已经够用，而且它们干净地不相重叠”。每当你看到一个对某组基的求和被突然塞进一个表达式的中间——这是极常见的一招——那便是完备性关系在悄悄起作用，它在说：“我有权在这里插入一整套积木，因为它们加总起来等于‘什么都没改变’。”
为什么测量偏爱基
下面这一段，能把记账变成物理。当你测量某个量时，可能的结果对应着一组特定的基——也就是那次测量天然的“坐标轴”。测量一个电子的自旋是向上还是向下，相关的基就是 {|向上⟩, |向下⟩}。现在把状态在这组基里展开，|ψ⟩ ＝ c↑|向上⟩ ＋ c↓|向下⟩，于是玻恩规则说：每个结果的概率，就是它系数的大小平方：向上是 |c↑|²，向下是 |c↓|²。你通过投影求出的那些系数，平方之后，正是实验将要显示的几率。
最后一个令人豁然开朗的想法：基的选择*由你做主*。同一个物理状态，既可以写在“向上/向下”基里，也可以同样合法地写在“向左/向右”基里——不同的参照轴、不同的系数，背后却是同一支箭头。一次测量无非是在问：“你打算在哪组基里盘问我？”改变你的提问，就改变了你所预测的数字，纵然状态本身纹丝未动。让箭头保持不动、而把坐标轴换来换去，是整个量子力学里最强大的习惯之一。