当一个聪明的猜测胜过一场艰难的计算
有时你并不需要整个解——你只是非常想要一个数字：一个系统所能达到的最低能量，即它的基态能量。这往往是最重要的单一物理量，因为它告诉你一个分子被束缚得有多紧，或者一个粒子究竟能不能被困住。变分法去逼近那个数字所用的办法，听起来几乎随意得不像物理：你对波函数的形状做一个有根据的猜测，然后*调*它，直到它好得不能再好。
把这件事从“纯靠瞎猜”里拯救出来的，是一条了不起的保证。无论你为波函数猜了什么形状——巧妙也好、笨拙也罢、对也好、错得离谱也罢——你由它算出的能量，绝不会低于真实的基态能量。你的猜测只可能高估。这就是变分原理，它改变了一切：它把寻找基态变成了一场“下坡搜索”，在那里“更低”永远意味着“更好”。
为什么猜测只会“偏高”
一旦你看懂，这块“地板”为何无法被击穿就真的很直观。你猜出的任何波函数，都可以看成系统真实能量状态的一种混合——一撮真实的基态、一点第一激发态，如此等等。当你计算这份混合的平均能量时，得到的是那些真实能量的加权混合。既然真实的基态能量是它们之中*最低*的，那么任何哪怕只掺入了一丝高激发态的混合，其平均值都必然偏大。唯一能正好命中真实最小值的办法，就是你的猜测恰好*就是*真实的基态。
从操作上讲，你由猜测算出的那个数字，是它的能量期望值——也就是说，如果系统真的处于那个猜测的状态，你测量到的平均能量。变分原理告诉你：这个平均值是一个“天花板”，它压在真实值之上，可以被向下推、逼近真实值，却永远钻不到真实值之下。
实际上该怎么做
在实践中，这套方法具体得令人愉快，归结起来就是一个简短的循环。全部的巧思都凝结在你对试探形状的选择、以及你留出哪些“旋钮”可调上。
- 写下一个试探波函数——一个对答案形状的猜测——它含有一个或多个可调参数（旋钮）。
- 把那个试探态的平均能量算出来，写成关于这些旋钮的公式。
- 转动旋钮，让那个能量尽可能小——找到使它取最小值的那组设置。
- 那个最小值，就是你对基态能量的最佳估计——而且你知道它是真实值的一个上界。
它的闪光之处，以及它诚实的局限
变分法真正大放异彩的地方，恰恰是微扰理论吃力之处——当附近没有可解问题可以倚靠，而你主要关心的又是某个束缚态的能量、而非每一个细节时。它是现代量子化学的脊梁：分子的能量、化学键的强度，以及大量计算药物设计，靠的都是去调那些含有数百万个可调参数的庞大试探波函数，而这一切都骑在那条朴实保证之上——更低就是更好。
不过，要对它的小麻烦保持诚实。这套方法告诉你一个上界，却不会告诉你超出了多少——一个看上去很漂亮的低数字，仍可能漏掉了某些东西。而且它天然只瞄准那个最最低的状态；要够到激发态，需要额外的巧思。只要用得明智，这些都无损它的声誉：凭一个精挑细选的猜测，变分法常常能拿下那些无人能精确求解的系统的基态能量，其中就包括当初挫败了精确解法的氦原子。