关于物理学的一个小坦白
有件事，教科书很少在第一页就直说：在量子力学里，几乎没有哪个真实问题能被精确求解。整门学科的核心方程——薛定谔方程——在纸面上不过是一份“配方”，告诉你如何求出任意一个系统所允许的能量和波的形状。但“纸面上”这几个字承担了太多。一旦你写下任何比少数几个“玩具模型”更复杂的东西，这个方程就再也无法靠铅笔、耐心和一个闭式解来求解了。诚实的情形是：能精确求解的情况，只是浩瀚的不可解之海中的一座小岛。
如果这听起来像坏消息，那其实恰恰相反。整套近似的手艺，是物理学中最具创造性的部分之一。面对一个无人能攻克的方程，物理学家并不会放弃——他们会想出巧妙的办法，得到一个几乎完全正确的答案，往往精确到比任何实验所能核对的还要多的小数位。这一级阶梯，就是专门用来做这件事的工具箱。
精确答案的那座小岛
有必要知道，究竟哪些问题真的拥有干净、精确的解，因为每一种近似方法都倚靠着它们。著名的可解情况寥寥可数：被困在一个完美方形盒子里的粒子（箱中粒子）、一个完美的弹簧式势（量子谐振子），以及一个绕着一个质子转的单个电子（氢原子）。这些都是干净、理想化的世界，在那里数学恰好能完美地“收口”。
现在加入最微小的一点现实。往那个原子里再放一个电子——这就是氦——精确解便随之蒸发。两个电子彼此相互排斥，这额外的一推把它们的运动耦合在一起，使得那个干净的方程再也理不清。这并非量子特有的怪癖；它正是著名的“三体问题”——即便是经典物理，面对太阳、地球和月亮，也无法给出闭式解。宇宙绝大部分都是由三体或更多体的问题构成的。可精确求解的系统是例外，而非常态。
四种“巧妙地几乎正确”的办法
物理学家手里没有一种包打天下的宏大方法，而是常备一套小小的近似策略，每一种都适配一类不同形状的问题。这门艺术，有一部分就在于挑对工具。下面就是你将在这一级阶梯里遇到的那套工具，用大白话讲讲。
- 当你的问题几乎就是一个你已经会解的问题时，把两者之差当作一个小小的“轻推”，再一步步地为它做修正。这就是微扰理论。
- 当你只想知道最低能量、并且对答案的形状有不错的直觉时，做一个有根据的猜测，再去调它。这就是变分法。
- 当势在空间中变化得只是缓慢平滑时，就借助通往经典物理的那座桥。这就是 WKB 近似。
- 当系统本身随时间缓慢变化时，它往往会忠实地停留在自己当前的状态。这就是绝热定理。
请留意贯穿这四种方法的同一个招数：每一种都找到了某处“小”或“慢”的东西，并加以利用。一个微小的相互作用、一个缓慢变化的势、一个时间上轻柔的改变——这些正是一道不可能问题上的裂缝，答案就从这些裂缝里溜了出来。学会发现那个“小”或“慢”的东西，就赢得了这场游戏的大半。
为什么这并不算失败
人们很容易觉得：需要近似，是不是意味着量子力学某种程度上不完备，或者我们只能退而求其次。其实不然。理论本身精确得令人惊叹——麻烦纯粹出在数学上，和那个让我们无法用一个简洁公式写下三颗行星轨道的困难，是同一种困难。这些近似方法并不是给一个漏水的理论打补丁；它们恰恰是一个精确理论如何被“兑现”成你能拿去和实验室比对的数字。
想想这背后的回报。同样这套近似机器，只要小心使用，就能预言氦发出的光的颜色、一根化学键的强度，乃至一个电子的磁性——精确到十几位小数，这是全部科学中被实验证实得最精确的预言。这些都不是来自精确解，而是来自懂得如何巧妙地、可控地、漂亮地“几乎正确”。这正是接下来一切内容的精神所在。