隨機變數的函數，仍是一個隨機變數
到了現在，你對單一隨機變數 X 已經很熟練了——它的質量或密度、它的 cdf、它的期望值。但真正要緊的問題，很少就停在 X 本身。工程師量到一個隨機電壓 X，他在乎的是功率，而功率約莫隨 X^2 變化。物理學家測到一個隨機速度，想要的是動能。交易員手上握著一個隨機的對數報酬，需要的卻是真正的價格，也就是 e 的那個報酬次方。每一種情況裡，你都從一個你已知其分配的東西出發，把它推過一個函數 g，然後問：這個新的量 Y = g(X)，分配是什麼？
首先要釐清的是，這裡沒有什麼奇異之處。Y = g(X) 本身就是個再普通不過的隨機變數：餵給它同一個隨機結果，套上 g，讀出一個數字。所以 Y 有它自己的 cdf、自己的密度、自己的期望值——而整個這個階段，講的就是找出它們的機器。本篇用最可靠的那條路徑，也就是累積分布函數法，來處理函數的分配。後面幾篇會把它特化成俐落的變數變換公式、特化成處理和的卷積，以及特化成順序統計量；但累積分布函數法是它們全都立足其上的基岩，也是你拿不準時該伸手去拿的那一招。
去追機率，不要追公式
整個想法用一句話說完。要找出 Y = g(X) 的分配，不要試圖直接去變換密度——而是把每一個關於 Y 的問題，翻譯回關於 X 的問題，因為在 X 那邊你早就知道答案。做這件事最乾淨的地方是累積分布函數，因為 cdf 永遠只問一種問題：「不超過 y 的機率是多少？」寫下 F_Y(y) = P(Y <= y)，然後代入 Y = g(X)，把不等式 g(X) <= y 對 X 解出來。你把一個關於 Y 的事件，轉換成一個關於 X 的事件，用你手上已有的 X 的 cdf 來計算它，掉出來的答案就是 F_Y，也就是 Y 的 cdf。
一旦 F_Y 到手，要拿到密度就是你已經學過的那一步：微分。從 cdf 還原密度就只是 f_Y(y) = F_Y(y) 的導數。所以完整的方法是一個俐落的三步迴圈，而且請注意，無論 g 是遞增還是遞減、是不是一對一、會不會把兩個輸入摺到同一個輸出上，它都行得通——因為在 cdf 這個層次上，你始終只在處理一個不等式，而不等式會誠實地把那一切都接住。正是這份穩健，讓它成為那個永遠不會讓你失望的「最後手段」。
The CDF method, in three steps:
1. F_Y(y) = P(Y <= y) = P( g(X) <= y )
2. solve g(X) <= y -> an event about X
-> evaluate with F_X
3. f_Y(y) = d/dy F_Y(y) (differentiate)一個實作例子：均勻分布的平方
令 X 在 [0, 1] 上服從均勻分布——在那個區間上密度平平地等於 1——再令 Y = X^2。憑直覺，把 0 到 1 之間的數平方會把它們*縮小*，並把結果擠向 0（因為 0.5^2 = 0.25、0.1^2 = 0.01），所以我們預期 Y 會在低端堆積。累積分布函數法把這份直覺變得精確。對於介於 0 與 1 之間的目標值 y，寫下 F_Y(y) = P(X^2 <= y)。由於這裡 X 從不為負，X^2 <= y 與 X <= sqrt(y) 是同一個事件。這就是那關鍵的翻譯：一個關於 Y 的問題，已經變成一個關於 X 的問題。
- 建立：對 y 在 [0, 1] 內，F_Y(y) = P(Y <= y) = P(X^2 <= y)。
- 翻譯事件：因為 X >= 0，不等式 X^2 <= y 恰好就是 X <= sqrt(y)。所以 F_Y(y) = P(X <= sqrt(y)) = F_X(sqrt(y))。
- 用你已知的：均勻分布的 cdf 在 [0, 1] 上是 F_X(x) = x，所以 F_X(sqrt(y)) = sqrt(y)。因此 F_Y(y) = sqrt(y)。
- 微分得到密度：f_Y(y) = sqrt(y) 的導數 = 1 / (2 sqrt(y))，其中 y 在 (0, 1] 內。
來讀讀這個答案在告訴你什麼。密度 f_Y(y) = 1 / (2 sqrt(y)) 在 y 趨近 0 時會爆掉——它在底端極大、在 1 附近很小——這正是我們猜的「在零附近堆積」。而它也印證了上一個階段的一條教訓：密度不是機率。這裡 f_Y(y) 在 0 附近衝向無窮大，但這沒問題，因為密度不是機率；任何單一點的機率依然是零，只有 f_Y 在某區間上的*面積*才是真正的機率。（順手檢查一下：1 / (2 sqrt(y)) 從 0 到 1 的積分總面積等於 1——是個合法的分配。）
當 g 走相反方向，或會摺疊時
平方那個例子裡，g 在相關範圍上是遞增的，所以不等式乾淨地翻了過來。有兩種狀況會不斷出現，而累積分布函數法兩種都吞得下，因為它始終只對事件進行推理。第一，遞減的 g 會把不等式反向。比方說若 Y = -X，那麼 Y <= y 意思是 -X <= y，也就是 X >= -y，所以 F_Y(y) = P(X >= -y) = 1 - F_X(-y)。每當你除以一個負數，或反轉一個遞減函數時，不等號就會翻向——而把這個翻向弄對，是最常見的單一失誤。靠著機率的單調性（較大的集合所帶的機率至少一樣多）來把帳目記誠實。
第二種，也更有意思：g 可能會摺疊——兩個不同的輸入落到同一個輸出上，所以 g 不是一對一的。把一個可能為負的變數平方就會這樣：x 與 -x 都給出同一個 x^2。假設 X 可以取遍整條實線，且 Y = X^2。那麼（對 y > 0）Y <= y 意思是 X^2 <= y，這是*雙邊*事件 -sqrt(y) <= X <= sqrt(y)。所以 F_Y(y) = F_X(sqrt(y)) - F_X(-sqrt(y))：你必須把摺到 y 上的兩個分枝都收集起來。這正是累積分布函數法值回票價之處——後面的變數變換公式假設 g 是一對一的，但累積分布函數法不需要這樣的承諾。它只是把 X 線上所有映射到 y 以下的片段都收攏起來。
為什麼用這個方法，以及它通往何處
值得點明：為什麼扛起重擔的是 cdf，而不是密度。cdf 是一個機率——F_Y(y) 真的就是 P(Y <= y)，一個介於 0 與 1 之間的貨真價實的數——所以對它代入與操作，從不會違反任何規則。密度是一個「率」，不是機率，你不能單純地把 g「塞進」密度裡；下一篇的變數變換公式之所以存在，正是為了修補你硬要這麼做時出的差錯，它插入一個伸縮因子（雅可比行列式），來計入 g 如何壓縮或拉伸座標軸。累積分布函數法則完全繞開這件事：因為它在事件的層次上運作，那份伸縮會在你最後一刻微分時被自動處理掉。
光憑這一個方法，你就已經能抵達一些令人意外的地方。把累積分布函數法中的 g 選成某變數*自己的* cdf，你就得到機率積分變換——也就是 F(X) 服從均勻分布這個神奇事實，它是模擬任何分配背後的引擎，也是第 4 篇的主題。把它用在好幾個變數的最大值或最小值上，你就得到第 5 篇的順序統計量。餵給它一個和 X + Y，累積分布函數法就生出卷積，也就是第 3 篇。這個階段後面的每一篇，骨子裡都是你剛學會的這三步：寫下新量的 cdf、把事件翻譯回你已知的東西、再微分。