顶点，就是结账的地方
在上一篇导览里，你学会了把一张[[feynman-diagram|费曼图]]当作一套由三种零件组成的字母表来读：外腿（你起始与终结时手里那些真实的粒子）、传播子（内部的线条，代表着穿行其间的虚粒子），还有顶点（线条相交的那些圆点）。现在我们要把这幅图画变成一个*大小*——一个数字，表示这个过程实际上多频繁地发生。下面这条规则会让其余一切各就各位：线是免费的，只有[[vertices-propagators-external-legs|顶点]]才要花钱。每一个圆点都是一处粒子相互作用的地点，而每一次相互作用都贴着一个价。
那个价，就是[[coupling-at-a-vertex|顶点处的耦合]]——一个数字，表示在那里相遇的粒子彼此之间实际上交谈得有多么强烈。在量子电动力学里，顶点永远是同一个电子-光子的圆点，它的价就是 QED 耦合。关键之处在于，这是强度进入计算的*唯一*地方。两个粒子作为线条漂移而过，或是一个虚粒子通过一条传播子摆渡着力，它们各自贡献着自己的因子，却从不决定这次相互作用有多*可能*发生。可能性完完全全栖居在那些圆点上。所以，要掂量一张图有多大，你直接去找它的顶点，数一数它们的个数。
数一数耦合的幂次
现在来记账。每一个顶点都向振幅贡献一个[[coupling-constant|耦合常数]]因子。在量子电动力学里，这个每顶点的因子就是电子的电荷 e，而物理学家更喜欢把它打包成 α，也就是精细结构常数——α 正比于 e 的平方，算出来约为 1/137。算术很简单：一张带两个顶点的图，其振幅里带着 e 的平方，也就是 α 的一次方；一张带四个顶点的图，振幅里带着 e 的四次方，也就是 α 的平方。再加两个顶点，你就要再付一个 α 因子。这就是全部的标度律。
QED vertex factor ~ e (and alpha ~ e^2 ~ 1/137 ~ 0.0073) 2 vertices : amplitude ~ e^2 probability ~ e^4 ~ alpha^2 4 vertices : amplitude ~ e^4 probability ~ e^8 ~ alpha^4 each EXTRA pair of vertices => one more factor of alpha ~ 1/137 so the 4-vertex correction is ~137x smaller than the 2-vertex one
来看一个具体的例子：两个电子彼此散射。最简单的图是每个电子坐在一个顶点上，朝对方抛出一个虚光子——两个顶点，于是振幅按 α 标度、概率按 α 的平方标度。你也可以画一张更热闹的图，让它们交换*两个*光子：现在是四个顶点了，这份贡献便要再小一个 α 因子，大约要微弱一百三十七倍。这张双光子交换的图既没有错、也不被禁止；它不过是叠在那张占主导地位的单光子图景之上的一个小修正罢了。
树图 vs 圈图
图分成两大家族，而它们之间的区别纯粹是拓扑上的——取决于内部的线条是否围成一个闭合的圈。一张树图没有闭合的圈：随便追踪哪一条内线，它总会通向某处，就像一棵树的枝丫，永远不会绕回来。两个电子单光子交换的那幅图景就是一棵树。与之相对，一张[[tree-level-vs-loop-diagrams|圈图]]则至少含有一条由内线围成的闭合回路——一个虚粒子（或一对虚粒子）短暂地现身、绕行一圈，再重新接上。你上面画的那个双光子方框，就是电子散射中最简单的一个圈。
为什么圈如此要紧？两个理由叠加在一起。第一，要闭合一个圈，就需要额外的顶点，所以一张圈图所携带的耦合幂次，总是比它所修正的那棵树要多——它自动地被 α 压低，正如数顶点所预言的那样。第二，也更微妙：在一个圈内部，虚粒子的能量与动量并不由外部粒子所固定。任何值都允许在圈里流动，所以计算必须*对所有可能性求和*——一个积分，遍历这个圈所能携带的每一个动量。树只是把几个因子相乘；圈却逼着你去做积分。
阶数，以及为什么寥寥几张图就够了
下面这套策略把一切都串了起来。要精确地预言一个过程，你本得把*无穷多*张图加起来——树图、然后一圈、再两圈，如此没完没了。这听上去毫无指望。但只要按图所携带的耦合幂次把它们归类整理，一桩记账上的奇迹便出现了。最低的幂次是领头阶（树图）；再高一阶是次领头阶（一圈）；如此类推。这道阶梯就是[[perturbation-theory-order|微扰论的阶数]]，而每一级都比它下面那一级小一个耦合的因子。
由于 α 约为 1/137，每往上走一阶，都比上一阶大约小一百倍。于是那个无穷的总和表现得就像 1 + 1/137 + 1/137 的平方 + ……，收敛得飞快：领头项就已经把你带到约百分之一的范围内，第一项修正把它磨利到百分之零点几，而你只要算到所需的精度就可以收手了。*这*就是为什么寥寥几张图便足够了。你并不是出于偷懒而无视其余的图——你手握一份定量的保证，确知你扔掉的那些图，小到在你的目标精度上根本无关紧要。
还有一条更安静的规则，在你开始数阶数之前就已经替你修剪了清单：在一个顶点处，守恒律必须成立。电荷、能量-动量以及其他量子数，在每一个圆点上都必须配平，所以你随手可能画出的大多数图，干脆就是不可能的，从来不会被画出来。守恒律禁掉了许多形状，小耦合又压低了幸存下来的那些，二者一夹击，那个看似无穷的计算便坍缩成一份简短而可控的清单——通常是一张或寥寥几张图，承载着实质上的全部答案。
当这套把戏失灵时：强相互作用
整套方案都搁在一个假设之上：耦合很小。把这个假设抽掉，它便垮台。强相互作用正是它垮台的地方。在日常的能量下，它的耦合不是 1/137，而是接近 1，于是那个级数 1 + 1 + 1 + …… 并不会缩小——每一阶都和上一阶一样要紧，再添图也无济于事。这就是为什么你没法画出几张费曼图来计算，比方说，三个夸克如何束缚成一个质子：根本没有一张领头图，而那道微扰的阶梯，也没有一级最底下的台阶可供你立足。
但接下来是个绝妙的转折，一个你早已乔装着见过的事实：耦合并不是一个固定的数。它是一个[[running-coupling|跑动的耦合]]——它的数值取决于相互作用的能量。强耦合在低能时很大（夸克在那里被锁死在强子内部），到了极高的能量却会缩小，这种性质叫做渐近自由。所以即便是对强相互作用，在那些剧烈的、高能的碰撞中——耦合在那里已经跑得很小——费曼图与微扰论也运转得*妙极了*。这套方法有它适用的疆域，由「相关的耦合在你所探查的能量上是否恰好很小」来划定。
还有一道诚实的褶皱，而它是量子电动力学自己的。即便是那个温文尔雅的电磁级数，也并不会永远收敛下去；把它推到极其高的阶数，它最终又会开始增长——这就是数学家们所说的渐近级数。在实践中这从不咬人，因为这种失效要远远在任何人会去计算的那寥寥几阶之外才会发作。要带着往下走的教训，并不是说微扰论很脆弱，而是说它是一件*有适用范围的工具*：在耦合很小处它出类拔萃，在耦合不小处它哑口无言，而且它始终对你身处哪一种区域诚实以告。