第一篇把我們留在何處
上一篇裡，我們不再把 u(x, t) 想成時空上的一張曲面，而開始把它想成一個移動的點：在每一瞬間 t，狀態 u(t) 是一整個關於 x 的函數，住在某個函數空間裡，而方程 u_t = -A u 告訴那個點往哪個方向移動。這裡的 A 是一個 拋物型算子——模型是 A = -Laplacian，於是熱方程 u_t = Laplacian u 化成了抽象演化問題 u_t + A u = f。我們從未把它解出來；只是換了個框架。這篇要真正抓住一個解，然後把它擠一擠。
正如橢圓那一級，策略是拒絕去微分兩次。乘上一個測試函數 v，在空間裡分部積分一次，空間的部分就坍縮成你在橢圓問題裡早已見過的同一個雙線性形式 B(u, v)。新出現的是時間：拋物型問題的弱解是一條曲線 t 映到 u(t)，使得對每一個測試 v，u 與 v 內積的時間導數加上 B(u(t), v) 等於 L(v)——這其實是一個偽裝的常微分方程，一次對應一個測試函數。
抓住一個解：時間中的伽遼金
那個生出橢圓解的把戲再度奏效，但多了一個轉折。我們在空間裡挑一張會增長的基底函數清單——A 的特徵函數是經典選擇——並只對那有限多個方向要求弱方程成立。在橢圓情形那給我們留下一條矩陣方程；這裡留下的是一個關於含時係數的小型常微分方程組。那個方程組是線性的、係數光滑，於是常微分方程的存在理論在每個時間區間上白白送給我們一個近似解 u_m(t)。這就是 伽遼金法，如今在時間中運轉。
但近似毫無價值，除非我們能阻止它爆掉。如今整場遊戲就是要把 u_m 對 m 一致地界住，好讓這些近似困在函數空間裡一塊固定的區域內，使某個子序列得以收斂。那條一致的繩索就是下一節的能量估計——而美妙之處在於，我們是用想得到的最自然的一手把它取出來的：拿方程去檢驗解它自己。
能量估計：拿 u 自己來檢驗
取熱方程 u_t = Laplacian u，乘上 u，在空間裡積分。左邊變成 u^2 積分之時間導數的一半——也就是總能量 E(t)（即 u^2 的積分）的變化率。右邊在分部積分之後，變成 -|gradient u|^2 的積分，這永遠不為正。於是我們落到一句誠實的話上：能量只會往下走，而它下降的速率恰恰就是梯度有多陡。這就是整個存在性證明的引擎，而它只有一行。
Multiply u_t = Lap u by u, integrate over the domain:
d/dt ( 1/2 * integral u^2 ) = integral (u * Lap u)
= - integral |grad u|^2 (<= 0)
So E(t) = integral u^2 is non-increasing:
E(t) <= E(0) for every t > 0
The gradient term you discard is exactly the dissipation
-- the heat the system is shedding as it smooths.把同樣的計算跑在每個伽遼金近似 u_m 上，這條界限便對每一個 m 都以同一個常數成立——因為右邊那項是被丟掉的，從未用到。那正是我們所需的一致繩索。近似們無從逃脫；它們每一個的能量都被自己初始資料的能量封頂。在合適的函數空間裡，一個有界序列必有弱收斂的子序列，其極限滿足弱方程，而那個極限就是弱解。注意我們造出它時從未寫過任何公式——這是一條 先驗估計，一條在我們確定解存在之前就先假設解所滿足的界限，它接著反過來逼出解的存在。
最大值原理：不求解便得界限
能量估計管住的是一個平均——u^2 的積分。拋物型最大值原理 管住的則是更鋒利得多的東西：u 真正的逐點大小。它的陳述幾乎就是物理常識。對於定義在一根桿子上、橫跨某時間區間的 u_t = Laplacian u，溫度的最大值在拋物邊界上取得——也就是初始時間切片，連同兩端橫跨整段時間。白話說：熱只能熱到它一開始的程度、或邊界逼它達到的程度；未來某個內部點，永遠不會自發地變得比餵養它的一切都更燙。
為什麼成立？在空間中的一個內部極大值處，函數向下彎曲，所以 Laplacian u 小於等於零，這逼出 u_t 小於等於零——最燙的點已經在冷卻，於是新的最高紀錄不可能在內部誕生。這就是弱最大值原理，它容許最大值僅僅是在拋物邊界上取得。而強版本說得更多：除非 u 是常數，否則最大值只在那裡取得，內部再也不會碰到它。這正是你在橢圓那一級見過的調和函數那套下坡邏輯，如今多帶了一支時間箭頭。
從這一條原理出發，三個深刻的事實幾乎不費力就掉了出來。第一，唯一性：若兩個解共享相同的初始與邊界資料，它們的差就解出帶零資料的熱方程，故其最大值與最小值都是零——它們完全相同。第二，比較：比較原理說，若一個解一開始低於另一個、並在邊界上始終低於它，那它就永遠低於它；秩序被這個流所保存。第三，一個安靜卻深遠的後果——熱方程尊重它從未被告知過的界限，這正是物理不可逆性的分析面孔。
誠實的附帶條款
上路前三件誠實話。第一，那支時間箭頭不是裝飾——它是結構性的。能量估計與最大值原理都倚靠 u_t 的符號，而那個符號只指向安全的方向：時間往前。把熱方程倒著跑，能量就得無界地增長，最大值原理也會反轉；這正是逆向熱方程惡名昭彰地不適定的原因。這裡的存在，意思是對 t 遞增的存在，而那份不對稱，正是擴散之所以不可逆的全部理由——擴散的不可逆性，就烤進了那同一批給出存在性的估計裡。
第二，最大值原理是線性性與算子正確符號送的禮物。它對 u_t = Laplacian u、以及對具有正確橢圓性的線性拋物型算子，都漂亮地成立，並且透過與精心挑選的次解與超解作比較，延伸到許多反應擴散方程。但它不是所有演化方程的普世法則：一個方程組、或錯誤的符號，都能把它徹底摧毀。別假設有最大值原理；要查清你的算子是否配得上一個。
第三，留心弱解與古典解之間的縫隙，正如橢圓那一級。伽遼金極限只是一個弱解——它滿足積分化的方程，還不是逐點的偏微分方程。它在 t 大於零時其實是光滑的，是另一個獨立的奇蹟，即下一篇所專注的瞬時光滑化。先存在，次能量與最大值界限，再光滑：把這三個問題分開來看，是攀登這一級最乾淨的方式。