從空無一物到有源：認識帕松
在這整個梯級裡，你研究了拉普拉斯方程 Laplacian u = 0 及其解，也就是調和函數——那些穩態、平均者，是一個區域所能容納最平滑的場。但這每一個模型描述的都是一個裡頭什麼都沒有的區域：沒有電荷、沒有質量、沒有加熱器。調和函數是空無一物之空間的位勢。誠實的下一問，正是任何物理學家立刻會問的：若裡頭真有某樣東西呢——一團電荷、一個質量分布、一個傾倒熱量的源？答案，是整個分析學中最重要的那個非齊次方程。
帕松方程不過就是右邊帶了一個源的拉普拉斯方程：Laplacian u = f，或依物理符號慣例寫成 -Laplacian u = f。這裡 f 是給定的——質量密度、電荷密度、各點注入熱的速率——而 u 是它所生成的未知位勢。在 f 為零之處，方程立刻塌回拉普拉斯方程，所以 u 在每一塊空的區域裡都是調和的；源 f 恰恰是調和性被允許失效的地方。帕松方程正是「這個場處處處於平衡，唯獨在它的源所在之處例外」這句話的精確數學陳述。
唯一要緊的那個源：一個點
正因為帕松方程是線性的，你可以用你在這道階梯上對付一切線性事物的同一手法來解它：先求出對最簡單可能之源的回應，再加總。最簡單的源是一個單一的點——一單位的質量或電荷被擠到一個點上，那種理想化的尖峰，寫作 delta「函數」delta(x)。對那個點源的回應，就是拉普拉斯算子那著名的基本解，也就是一顆孤立點電荷坐落原點時的場。本指南其餘的一切，都由它建造出來。
在三維中，這個場就是一個點的牛頓位勢：它以 1/r 衰減，正是牛頓與庫侖由實驗寫下的、點質量的重力位勢與點電荷的靜電位勢。這個 PDE 從純粹的對稱性就證實了他們的平方反比力定律：在原點以外，場是徑向且調和的，而三維中唯一會衰減的徑向調和函數就是常數除以 r。在二維中答案不同，且值得記住——沒有 1/r 的解；徑向的調和函數是 log r，所以對數位勢 -log r（相差常數）才是平面的基本解。
Fundamental solution Phi of -Laplacian Phi = delta (point source at origin): 1 dimension : Phi(x) = -|x| / 2 (grows linearly) 2 dimensions: Phi(x) = -(1 / 2pi) log r (logarithmic potential) 3 dimensions: Phi(x) = 1 / (4pi r) (Newtonian potential, ~ 1/r) where r = |x| = distance to the source Phi is harmonic everywhere EXCEPT at r = 0, where the source lives
把源加總起來：卷積解出帕松
現在來收割。一個一般的源 f，不過是一團連續的點源之雲，每個位置 y 上有一個、強度為 f(y)。每一個都貢獻它自己縮放並平移過的基本解 Phi(x - y) f(y)，而由疊加原理，總位勢就是它們全體之和——其實是一個積分。那個積分恰恰是整個分布 f 的牛頓位勢，而它在整個空間上解出帕松方程：u(x) = integral of Phi(x - y) f(y) dy。你剛剛一筆乾淨地解出了 -Laplacian u = f，沒有級數，也沒有分離變數。
這是一個卷積，寫作 u = Phi * f，它是你在熱方程裡用過的那個高斯卷積的橢圓型表親：在兩種情形裡，基本解都是對一個點尖峰的回應，而把它與資料卷在一起，就把那個回應抹開到源的每一個點上。這幅圖很具體：站在一點 x，望向你周圍源的每一塊，依 1/r（或 log r）位勢從那裡觸及你的強度給每一塊加權，再相加。遠處的質量貢獻少，鄰近的質量貢獻多，而 Phi 那奇異的尖端溫和到足以讓積分收斂，即使就在源的內部也一樣。
誠實面對為何那個奇異性不會毀掉積分，是值得的。對積分號下做兩次微分，形式上給出 Laplacian u = integral of Laplacian Phi(x - y) f(y) dy = integral of delta(x - y) f(y) dy = f(x)——但 Laplacian Phi 並不是一個普通函數，它是 delta，所以那一行是用分布語言所做的計算，而非天真地把微分與積分對調。嚴謹的版本，是一段用格林恆等式把奇異點隔離出來的簡短論證。要記住的口號是：基本解的拉普拉斯算子是一個點尖峰，這正是「與它卷積就能反轉拉普拉斯算子」的全部理由。
從整個空間到一個盒子：格林函數
卷積公式在整個空間上解出帕松，那裡唯一的條件是在無窮遠處衰減。但這個梯級真正的問題，活在一個有界區域裡，牆上規定了狄利克雷或諾伊曼資料。單憑牛頓位勢並不尊重那些牆：它確實正確地解出 -Laplacian u = f，卻在邊界上留下錯誤的數值。修正之道，與邊界修正項是同一個把戲——加上一個調和函數，在不擾動源的前提下把邊界補好。
把自由空間的基本解，與那個修補邊界的調和修正項縫合在一起，就得到該區域的格林函數 G(x, y)：一個位於 y 的點源在 x 處的位勢，且它同時在邊界上歸零。一旦握有它，完整的狄利克雷問題 -Laplacian u = f、牆上 u = g，就有一條俐落的公式——G 對源 f 在內部上的一個積分，加上 G 的法向導數對資料 g 的一個邊界積分。你在上一篇指南遇見的帕松積分公式，正是把這個構造在圓盤上實行的結果，那裡邊界項就是一切，因為源為零。
源對場做了什麼，以及誠實的細則
現在來讀出帕松在物理上為你換來了什麼。回想一個調和函數等於它自己在每個小球面上的平均——即平均值性質。帕松方程正是對那性質的精確修正：在 f 為正之處，u 下沉到它的球面平均之下；在 f 為負之處，u 升到其上。源使場偏離平坦，就如同一個重物把一張繃緊的薄膜在重量之下壓彎。這就是為什麼最大值原理嚴格說來是一個調和的陳述：一個真正的源能製造出一個內部的峰或谷，而那是無源的場永遠辦不到的。
一個優美的結構事實，把圓圈與狄利克雷問題接合起來。-Laplacian u = f 的解，是那個使能量積分 (1/2)|grad u|^2 - f u 最小化的場——伸張能量與源所做的功之間的權衡。令 f = 0，就回復了較早那篇指南裡的狄利克雷原理：沒有源時，調和函數不過是那個貼合邊界、伸張得最少的場。帕松方程就是拉普拉斯的最小努力原理，外加一個源付錢請場去變形。
臨別前，兩句誠實的告誡。其一，卷積公式假設 f 衰減得夠快；一個在無窮遠處不死去的源（無限大的均勻電荷）會使積分發散，你就必須改採局部的做法——那條全域公式是一種便利，而非一條定律。其二，即便是一個粗糙、僅僅可積的源 f，也會產生一個出奇平滑的位勢 u：位勢的行為永遠比它的源好上兩階導數，這個精確的陳述叫橢圓正則性。這種平滑是真的，卻是有界的——別過度承諾它；一個不連續的源給出的 u，其二階導數仍可能不連續，只是不會比 f 本身更糟。一如這門學問裡的慣例，基本解是那塊拱心石：認得它，整道橢圓理論的拱門便穩穩立住。