一條答案太多的方程
你來到這裡時，早已認得主角。從本學習階梯的前兩篇導讀，你知道 拉普拉斯方程 Laplacian u = 0 挑出的是 調和函數——一張肥皂膜或一片穩態溫度最終安頓下來的平衡形狀——你也知道它們服從平均值性質與最大值原理。但請留意一個安靜的問題。在一個圓盤上，u = 1 是調和的。u = x 也是。u = x^2 - y^2 是，u = e^x cos y 是，還有無窮無盡的其他函數都是。單就一塊區域而論，拉普拉斯方程有一整片無邊的解海。
這並不是拉普拉斯方程的缺陷；這是每一條偏微分方程的本性。回想基礎那一級裡那個誠實的教訓：一條偏微分方程的通解牽涉的不是任意常數，而是任意函數。描述一顆落球的常微分方程，只需兩個數——位置與速度——便能釘死它。而一塊區域上的偏微分方程，需要的是整整一個函數份量的資料，而把這份資料釘下來最自然的地方，就是區域的邊界。內部的方程說的是 u 在局部必須如何表現；邊界資料說的，則是在那無窮多個全域自洽的形狀裡，你究竟指的是哪一個。
狄利克雷問題：指定函數值
最自然的選擇，是把 u 自己釘死在邊緣上。狄利克雷問題 問的是：給定一塊區域 D，以及一個定義在它邊界上的函數 g，求一個在 D 內部調和、且在邊界上等於 g 的 u。寫成符號就是：在 D 內 Laplacian u = 0，配上 狄利克雷邊界條件 u = g 於邊界。想像一片金屬板，把它的邊緣夾持在一個固定的溫度分佈 g 上——這裡暖、那裡冷。熱量在內部重新分配，直到不再變化為止；它最終安頓下來的、邊緣被牢牢按住的穩態溫度，正正就是解 u。
也有同一張肥皂膜的圖像：把一個鐵絲圈在平面上方彎成某個形狀，蘸一下，那張撐在其上的膜（對於和緩的斜率而言）就是一張調和的圖形，其高度在邊緣的每一點都與鐵絲吻合。鐵絲就是邊界資料 g；膜就是解。兩張圖像共享同一個從最大值原理看來早已順理成章的結論：膜不能戳到鐵絲最高點之上，也不能垂到它最低點之下。一個調和函數，被整個擠在它自己邊界值的兩個極端之間。
正是這份「擠壓」，使狄利克雷問題至多只有一個解。假設 u 與 v 都是它的解、且具有相同的邊界資料 g。它們的差 w = u - v 是調和的（拉普拉斯方程是線性的，故解的差仍是解——這正是疊加原理在起作用），而在邊界上 w = g - g = 0。由最大值原理，調和函數在邊界上取得其最大與最小值，而那裡 w 為零；於是 w 被擠在 0 與 0 之間，逼得它在整塊區域上 w = 0。因此 u = v。唯一性沒讓我們多付出什麼，只用上了你早已證過的最大值原理。
諾伊曼問題：指定通量
在邊界上還有第二件可以固定的自然之物，它固定的不是 u 的值，而是它向外的斜率。諾伊曼問題 要求 u 在 D 內調和，並滿足 諾伊曼邊界條件 u_n = h 於邊界，其中 u_n 是 u 沿向外法線方向的導數——當你正對著邊緣往外跨一步時，u 變化得有多陡。從物理上看，當你控制的是穿越邊界的流量、而非邊界上的高低時，這便是那個自然的條件。由傅立葉定律，通量正比於梯度，所以邊緣處的 u_n 恰恰就是那裡每單位長度向外流出的熱量。一條絕熱的邊緣——沒有熱量穿越——不過就是 h = 0。
但這裡埋著一個意外，而且是個深刻的意外。你不能隨心所欲地指定流出量 h。把穿越整條邊界的總熱量加總起來：在穩態下，內部既無產生也無消滅，淨流出區域的量就必須恰好為零。從邊緣某一處離開的一切，必定是從另一處進來的。所以邊界資料必須滿足 諾伊曼相容條件：h 沿整條邊界的積分必須為零。倘若你硬要指定一個不平衡的淨流出量，那就根本不存在任何調和解——你等於是在要求一個平衡態憑空地、永遠地漏出熱量。
DIRICHLET NEUMANN
Laplacian u = 0 Laplacian u = 0 (interior: harmonic)
u = g on boundary u_n = h on boundary (boundary data)
unique solution solution unique only up to + constant
exists on nice D EXISTS only if (integral of h over boundary) = 0
^ compatibility condition這個相容條件不是一個你可以靠一條謹慎的證明揮手帶過的技術細節；它是被守恆的物理逼出來的，而且從格林恆等式裡一行就掉出來（把 Laplacian u = 0 在 D 上積分，散度定理便把它變成 u_n 的邊界積分）。這個教訓可以推廣：當你改變指定哪一種資料時，你連「適定」是什麼意思都一併改變了。狄利克雷資料可以是任何連續函數；諾伊曼資料卻必須平衡。無論哪一種，內部的方程都是同一條調和方程——但你被允許問的問題，卻不一樣。
為什麼諾伊曼的唯一性會差一個常數
把唯一性的論證再跑一遍，這回是針對諾伊曼，第二個轉折便出現了。假設 u 與 v 都是諾伊曼問題的解、且具有相同的通量 h。它們的差 w = u - v 是調和的，而現在整條邊界上 w_n = 0。最大值原理那一招在這裡行不通——它管的是邊界值，可我們只固定了邊界斜率。乾淨的出路是來自格林第一恆等式的能量等式：|gradient of w|^2 在 D 上的積分，等於 w 乘 w_n 的一個邊界積分，而後者因 w_n = 0 而為零。一個非負的被積函數積出來是零，就必須處處為零，所以整塊區域上 gradient of w = 0——這意味著 w 是一個常數。
所以諾伊曼問題把解只釘到相差一個可加常數的程度：若 u 是解，u + 7 也是，而單憑通量，你沒辦法把它們區分開來。這同樣不是缺陷——它在物理上恰恰正確。諾伊曼資料固定的是熱量如何流動，這定下了溫度的形狀，卻從不固定那個整體的恆溫器讀數。你可以把每一處溫度都平移同一個量而不改變任何通量，因為通量只感受得到差異。要挑出唯一一個解，你必須再添一點資訊——譬如 u 的平均值，或它在某個選定的單點上的值。
圓盤上的一個小小例題
具體的數字能把想法釘牢。在平面上的單位圓盤上工作，並用角度來指定邊界資料：取邊緣上 g = cos(角度)。我們要一個在內部調和、且在邊界上 u = cos(角度) 的 u。一個尊重對稱性的猜測是 u = x，因為 x = r cos(角度)，當 r = 1 時恰等於 cos(角度)，而 u = x 是調和的（它的兩個二階導數都為零）。所以 u = x 解了這個狄利克雷問題，而由我們剛證過的唯一性，它是唯一的解。再也沒有無邊的解海了——邊界資料把它瀝乾成了一個。
現在來看同一個圓盤上的諾伊曼版本。單位圓上的向外法線是徑向指出的，所以邊緣處 u_n = u_r。試著指定 h = cos(角度)：它通得過相容性檢驗嗎？把 cos(角度) 沿圓周積一圈得到零，所以解應該存在。而事實上 u = x 再度奏效，因為對 u = x，邊緣上的徑向導數是 u_r = cos(角度) = h。但請看：u = x + 100 具有完全相同的向外通量，因為加一個常數不改變任何導數。兩者都解了諾伊曼問題——那個被預告過的常數不確定性，活生生地實現了。倘若我們改要求 h = 1（一個常數的淨流出量），沿圓周的積分會是 2*pi 而非零，相容條件就會禁止任何解的存在。
有一個誠實的提醒要往前帶：猜出答案之所以行得通，純粹是因為邊界資料是一個與圓盤對稱性相合的、乾淨的單一三角函數。對於一般的 g——繞著邊緣崎嶇起伏的溫度分佈——並沒有什麼幸運的猜測，你需要一台真正的機器，把任何邊界函數轉成內部的調和函數。那台機器就是帕松積分公式，正是下一篇導讀的主題；它將直接證明圓盤上的存在性，並把這個 u = x 的例子作為輕鬆的特例還原出來。狄利克雷問題與諾伊曼問題是問題；接下來的兩篇導讀則建造答案。