完美均衡的方程
你來到這一級時，已見過會「動」的方程。熱方程 u_t = k u_xx 看著溫度擴散；波動方程 u_tt = c^2 u_xx 看著弦波盪漾。兩者都帶有一個時間導數，因為兩者描述的都是正在變化的東西。現在把時間整個剝去，問一個更安靜的問題：一旦一切都不再變化，答案會維持成什麼形狀？那個凍結、安頓下來的輪廓，正是這整個學習階梯的主題，而它所滿足的方程，是全部偏微分方程裡被研究得最多的一條：拉普拉斯方程，寫作 Laplacian u = 0，在二維中讀作 u_xx + u_yy = 0。
符號 Laplacian u 是 u 的 拉普拉斯算子——在平面上它就是 u_xx + u_yy，純二階導數之和，在三維中則是 u_xx + u_yy + u_zz。你在分類二階方程時曾短暫遇過它；在這裡，它登上了主舞台。Laplacian u = 0 的解稱為調和函數，這個名字帶著一個承諾：這些函數極其光滑、剛硬、且性情良好。例子很容易寫出。在平面上，u = x、u = x^2 - y^2、以及 u = x^3 - 3 x y^2 都是調和的——驗一下最後一個：u_xx = 6x 而 u_yy = -6x，兩者相消。但 u = x^2 + y^2 不是調和的，因為 u_xx + u_yy = 2 + 2 = 4，並非零。
調和函數從何而來
拉普拉斯方程並不是一個為自身而發明的抽象物——它是時間用盡後所剩下的東西。把金屬板上的熱方程 u_t = k(u_xx + u_yy) 放著讓它跑到永遠。熱量持續從熱處流向冷處，直到沒有任何東西有理由再移動，溫度也不再變化：u_t = 0。把它代回熱方程，右邊也必須消失，於是剩下 k(u_xx + u_yy) = 0，即 Laplacian u = 0。那個最終、不再改變的溫度圖案——穩態熱分布——恰恰就是一個調和函數。你在熱方程那一級讀過的每一篇導讀，某種意義上都是在講一塊板如何鬆弛、趨向這個答案的故事。
同一條方程，會在任何「某個量已達平衡、且沒有源頭攪動它」的地方浮現。空無電荷的區域中的靜電位勢是調和的；真空中的重力位勢也是，光滑、不可壓縮、無旋的流體流動的速度位勢同樣如此。這正是這門學科有時被稱為位勢理論的原因。在每一種情形裡，物理都用不同的字句說著同一件事：在沒有任何源或匯的情況下，一個位勢不可能擁有內部的尖峰或凹坑——它必須把自己攤開成 Laplacian u = 0 所要求的那個唯一的均衡形狀。
Heat equation: u_t = k (u_xx + u_yy) let time run out: u_t -> 0 what remains: u_xx + u_yy = 0 (Laplace's equation) harmonic examples (plane): x, x^2 - y^2, x^3 - 3xy^2 NOT harmonic: x^2 + y^2 -> u_xx + u_yy = 4
為何它屬橢圓型——以及代價何在
回想你如何依判別式 B^2 - A C 的正負，來分類一個二階方程 A u_xx + B u_xy + C u_yy + ...。對拉普拉斯方程而言，主部是 u_xx + u_yy，故 A = 1、B = 0、C = 1，得 B^2 - A C = -1 < 0。那個負的判別式，正是 橢圓型 的徽記，而拉普拉斯方程是這一族中最乾淨的成員——是每一個其他橢圓型問題用來對照的模型方程。熱方程是拋物族的首腦、波動方程是雙曲族的首腦，而拉普拉斯方程，就是橢圓族的首腦。
型別不是一個標籤——它決定了方程如何行為，以及你被允許給它什麼資料。橢圓型方程沒有特徵線：沒有任何資訊沿之傳播的特殊曲線，因為根本沒有任何東西在傳播。雙曲型方程有有限的傳播速度，一道波能載著一個尖角而不被平滑掉；橢圓型方程則沒有速度的概念、也沒有偏好的方向。其結果是，邊界上任何一處對資料的改動，都會在內部瞬間且處處被感受到——沒有波前、沒有延遲、沒有依賴域。每一個內部點都同時聆聽著整條邊界。
這同時也是一個警告，關於你不可以問什麼。對雙曲型的波動方程，在一條曲線上同時指定 u 與它的法向導數——即柯西資料——是自然而適定的設定。對拉普拉斯方程做同樣的事，它就成了不適定問題的教科書範例：柯西資料中微小、光滑的擺動，能在不遠處爆炸成巨大的振盪，於是解並不連續地依賴於資料。型即宿命：橢圓型問題要的是一條封閉曲線上的邊界資料，而非一條開曲線上的初始資料。哪種資料才適定，正是接下來兩篇導讀要解決的問題。
調和的標誌：取平均
這裡是關於調和函數最美的一個事實，也是下一篇導讀專門要講、而本篇只為它推開門的那個事實。調和函數具有平均值性質：任何一個圓（在三維中則是球）中心處的值，等於它在那個圓周上各值的平均。不偏上、不偏下——中心恰恰是圓緣的平均。這正是我們從曲率讀出的那份均衡的精確數學迴響：若某點高於它周圍的平均，圖形在那裡就會向下凹，逼出 u_xx + u_yy < 0，而這是調和函數所禁止的。於是沒有任何東西能突出於它的鄰域之上，也沒有任何東西能下陷於它之下。
從取平均，流淌出那個讓調和函數近乎神奇的性質——最大值原理。若一個調和函數在每一點都是其周遭的平均，那麼它的最大值與最小值就無法藏身於內部；它們必定落在邊界上。想像一塊板的穩態溫度：最熱與最冷之處，總在邊緣的某處，絕不在中間，因為任何內部的尖峰都得超過它鄰居的平均，而這正是平均值性質所禁止的。熱量一旦安頓下來，便無處堆積。這一個原理——下一篇導讀會妥善證明——將遞給你一樣珍貴的東西：唯一性。
本學習階梯將構築什麼
握有了方程及其性情，前路如下。最大值原理幾乎免費地給出唯一性：若兩個調和函數在邊界上相同，它們的差是一個邊界值為零的調和函數，於是由最大值原理，它最大與最小的值處處皆為零——兩個解完全相同。這正是為何在邊界上固定 u 就能在內部釘出唯一一個答案，即狄利克雷問題；改為固定法向導數，則是諾伊曼問題，你將看到它需要一個小小的相容條件才能求解。第四篇導讀接著把圓盤上真正的答案寫成一個乾淨的積分，即帕松公式；第五篇則加上一個源頭，得到 Laplacian u = f，即帕松方程，由牛頓位勢與對數位勢構築而成。
以兩個誠實的提醒作結。第一，調和函數出奇地光滑——事實上在內部是無窮可微的，甚至是實解析的，無論邊界資料多麼粗糙。這是你在熱方程中見過的平滑化的橢圓型版本，且是一個貨真價實的定理，並非巧合。第二，這一切的優美，都仰賴於沒有源頭。一旦出現一個電荷、一個熱源或一個匯，右邊就不再是零，你解的就變成 帕松方程 Laplacian u = f——仍是橢圓型、仍然性情良好，但不再純粹是關於完美均衡了。調和函數是空房間的情形；本學習階梯的最後一篇導讀，會為這個房間添上家具。