上一份指南把我們留在哪裡
在上一份指南裡，你看著一件戲劇性的事發生在一道完全平滑的流動上。純量守恆律 u_t + f(u)_x = 0 沿著特徵線承載它的數值，而這些特徵線的速度依賴於 u 本身，於是剖面中快的部分追上慢的部分，特徵線相交，本應成立的解試圖變成三值的。平滑解在有限時間內消亡——這就是震波形成——而就在它消亡的那一刻，剖面中出現了一道乾淨的垂直懸崖，也就是震波。
這留給我們一個誠實的難題。越過破裂的時刻之後，古典形式的偏微分方程就失去了意義：你無法對一個帶有跳躍的函數微分，所以 u_x 在懸崖處根本不存在。古典解不再存在，然而在物理上氣體仍在流動、車輛仍在行駛、水仍在奔流。我們需要一個允許跳躍的解的概念——弱解——而一旦有了它，我們最需要知道的一件事就是：那道懸崖移動得有多快？
請留意，有一樣東西不會替我們回答這個問題。特徵線，我們直到此刻一直信賴的嚮導，恰恰就是彼此撞在一起並崩潰的那些東西；在震波的兩側，它們都指向懸崖，而非沿著它。所以它們無法告訴我們震波的速度。必須有某種更古老、更穩健的東西站出來——而那東西就是守恆律本身，正是偏微分方程所從之誕生的那條法則。
回到方程背後的守恆律
回想方程 u_t + f(u)_x = 0 最初是如何建立起來的——這正是從守恆律導出偏微分方程的教訓。你在直線上選了一個固定的區間 [a, b]，你說裡面的物質量只能因為物質越過 a 流入、越過 b 流出而改變，並把這筆記帳寫成一個積分的平衡式。當你假設剖面是平滑的並把區間縮成一點時，所得到的就是偏微分方程。積分律是母親；偏微分方程是平滑的孩子。
關鍵在於，母親不需要平滑性也照樣成立。那個積分的陳述——[a, b] 內總量的變化率等於在 a 處的流入通量減去在 b 處的流出通量——對於一個落在區間內某處的跳躍完全無動於衷。對一個帶懸崖的函數做積分一點問題也沒有；只有導數才會卡住。所以當偏微分方程崩潰時，我們並不丟棄物理。我們退回到積分守恆律，它依然成立，並讓它來告訴我們震波必須如何行為。
用一個收縮的盒子導出跳躍速度
畫面是這樣的。在某一瞬間，震波位於 x = s(t) 處，而且它在移動——令它的速度為我們想要的那個數，記作 sigma = ds/dt。就在懸崖的左側，解取一個近乎常數的值 u_L；就在右側，它取值 u_R。每一側所承載的通量在左邊是 f(u_L)，在右邊是 f(u_R)。現在畫一個跨在震波上的微小固定區間 [a, b]，使懸崖落在它內部某處，並在一小段時間內觀察那個盒子裡物質的總量 Q。
關於 Q 如何變化的兩本帳必須吻合。第一本帳——牆上的通量：物質以速率 f(u_L) 越過左牆進入盒子，以速率 f(u_R) 越過右牆離開，所以 dQ/dt = f(u_L) - f(u_R)。第二本帳——移動懸崖的幾何：當震波向右滑動 sigma·dt 那麼多時，它把一條薄片的右態轉化成左態。那條薄片寬 sigma·dt，把局部數值改變了 (u_L - u_R)，所以盒子以速率 sigma·(u_L - u_R) 獲得物質。兩本帳量的是同一個 dQ/dt，因此令它們相等。
sigma * (u_L - u_R) = f(u_L) - f(u_R)
f(u_L) - f(u_R) [ f ] jump in flux
sigma = --------------- = ------- = -------------------
u_L - u_R [ u ] jump in the quantity
( s'(t) = shock speed, [.] = value just behind minus just ahead )兩邊相除便給出朗肯-雨貢尼奧條件：sigma = (f(u_L) - f(u_R)) / (u_L - u_R)，簡潔地寫成 sigma = [f] / [u]，其中方括號意指「越過震波的跳躍量」。這就是全部的結果——本學科中最低調卻最重要的公式之一。它說一個不連續面的速度不是隨意的選擇，也不是任一側的特徵速度；它被通量跳了多少、相對於守恆量跳了多少所牢牢固定。
一個工作範例，以及平均速度的圖像
讓我們在最友善的模型上把它釘住，即柏格斯方程 u_t + (u^2/2)_x = 0，其中通量為 f(u) = u^2/2。假設一道震波後方 u_L = 2、前方 u_R = 1。通量是 f(2) = 2 與 f(1) = 1/2。朗肯-雨貢尼奧給出 sigma = (2 - 1/2) / (2 - 1) = (3/2) / 1 = 3/2。所以這道懸崖以速度 3/2 向右行進。
對柏格斯方程而言，這裡藏著一個可愛的合理性檢驗。特徵速度是 f'(u) = u，所以左側特徵線以速度 2 行進，右側以速度 1。震波速度 3/2 恰恰是兩者的平均，即 (u_L + u_R)/2。這是柏格斯方程獨有的（因為它的通量是二次的），但它在各處都抓住了正確的直覺：震波以一個夾在它兩側特徵速度之間的速度移動——後方快的特徵線撞上它，前方慢的被它趕上，懸崖則以介於其間的某個折衷速率漂移。
誠實的陷阱：它固定了速度，卻沒固定哪道震波是對的
現在來看坦率的細則，因為朗肯-雨貢尼奧雖然強大，卻不是故事的結尾。這條條件告訴你任何可容許的跳躍必須以什麼速度行進——但它並不告訴你某個給定的跳躍是否一開始就被允許。這公式樂於替一個方向錯誤的跳躍也指派一個速度。對柏格斯方程而言，若後方 u_L = 1、前方 u_R = 2，同樣的算術又給出 sigma = 3/2，這是一個慢態在後、快態在前的跳躍。
第二個跳躍精確地滿足朗肯-雨貢尼奧，卻是非物理的：它是一道無中生有地創造資訊的震波，特徵線是從不連續面湧出，而非撞進它。更糟的是，完全相同的初始資料還允許一個把兩個狀態平滑地撐開的扇形——一道稀疏波。所以一個僅僅遵守跳躍條件的弱解並不唯一：我們已經寫下了同一問題的兩個不同解，兩者都滿足朗肯-雨貢尼奧，而光靠這條公式無法告訴我們大自然挑哪一個。
這就是非線性守恆律著名的唯一性喪失，而它確實是數學的一個特性，並非我們推導中的錯誤。跳躍條件是必要的，但不充分。所缺的是一條額外的可容許性規則——熵條件——它丟棄方向倒退、創造資訊的跳躍，只留下那些壓縮的、特徵線是流入其中的跳躍。那條選擇規則，以及它重新恢復單一物理答案的確切意義，正是黎曼問題與下一份指南要帶我們前往之處。