一本帳簿，而非一條力的定律
在上一份指南中，我們認識了一階雙曲系統，並學會從它們的特徵速度中讀出資訊。現在我們收窄到最具啟發性的單一情形——一個未知量、一個空間維度——並追問方程本身從何而來。答案比一條力的定律更謙卑：它是記帳。任取一段道路、河流或電線，介於 x = a 與 x = b 之間。那段區間內某守恆量的總量改變，只可能有一個原因：物質從一端流入、從另一端流出。內部不生不滅。
用 u(x, t) 表示密度——在位置 x、時刻 t，每單位長度承載多少物質——再用 f 表示通量，也就是該物質流過某一點的速率。記帳的說法是：[a, b] 內總量隨時間的變化率，等於在 a 處流入的減去在 b 處流出的。把區間收縮成一點，那則積分陳述便塌縮為微分形式的純量守恆律 u_t + f(u)_x = 0。這就是一大族偏微分方程的守恆律起源，而 u_t + (某物)_x = 0 這個形式正是要辨認的指紋。
integral (truthful) form: d/dt integral_a^b u dx = f(u(a,t)) - f(u(b,t))
shrink [a,b] to a point: u_t + f(u)_x = 0 (scalar conservation law)
chain rule, smooth u: u_t + f'(u) u_x = 0 (quasilinear transport)
examples: transport f(u) = c u f'(u) = c (constant speed)
Burgers f(u) = u^2/2 f'(u) = u (speed = value)
traffic f(u) = u(1 - u) f'(u) = 1 - 2u通量帶著自己的速度
只要 u 保持光滑，連鎖律就把守恆律化為 u_t + f'(u) u_x = 0。把它和一階梯級上那個樸素的傳輸方程 u_t + c u_x = 0 相比，後者的解只是把初始剖面以固定速度 c 向右滑動。唯一的差別在於，常數 c 被換成了 f'(u)——一個取決於所承載之數值的速度。就這一個替換，是接下來全部戲劇的根源。
跑一遍特徵線法，畫面便鮮明起來。沿著曲線 dx/dt = f'(u)，數值 u 被原封不動地承載，因此每一條特徵線都是一條直線，其斜率速度由它起始的數值決定。對柏格斯方程 f(u) = u^2/2，速度就是 f'(u) = u，所以剖面高的部分跑得快、矮的部分跑得慢。這些道路不再平行：它們依所載的貨物，傾斜出不同的角度。
壓縮：道路相撞的那一刻
機制就在這裡，完全畫在那些傾斜道路的幾何之中。設想資料是下降的——後方一個高狀態、前方一個低狀態，由一道平滑的下坡斜面相連。高的值射出快特徵線，低的值射出慢特徵線，於是後方的快線撲向前方的慢線。兩條起初分離又彼此收斂的道路，終究必然相遇。當第一對特徵線相觸的那一瞬，兩個不同的、被記住的 u 值抵達同一點，單值函數再也無法同時遵守兩者。
盯著剖面本身看，而不只是路線圖。由於斜面的後段比前段跑得快，斜面便逐漸變陡——就像海湧的後段追過它的正面，直到波浪直立、捲起。高度 u 全程保持完美有界；衝向無窮的是斜率 u_x。這就是梯度爆破：數值有界，梯度無窮。兩種破壞模式——數值爆掉與梯度爆掉——是不同的物種，而這裡爆掉的嚴格說來是梯度。
誠實而略帶驚人的事實是，崩潰發生在一個確定的有限時刻，並非漸進地發生。在那一瞬之前，解是真正光滑而古典的；一拍之後，它在古典意義下根本不存在。資料的符號決定了命運：下降的斜面壓縮並破裂，而上升的斜面讓特徵線扇形散開、永遠保持光滑（散開的情形是稀薄波，我們留到黎曼問題再談）。壓縮造成震波；膨脹從不。
直接從資料讀出破裂時刻
我們可以把這場災難釘成一個數字。離開點 x0 的特徵線是直線 x = x0 + f'(u0(x0)) t，承載著數值 u0(x0)。兩條相鄰特徵線在它們的扇形首次聚焦時相撞，而沿著它們做一行微分，便得到空間斜率的成長律。斜率恰好在相鄰直線收斂最快之處爆掉——也就是當你向右移動時，特徵速度下降得最陡之處。
令 a(x0) = f'(u0(x0)) 為從 x0 射出的特徵速度。沿扇形微分得到 u_x = u0'(x0) / (1 + a'(x0) t)，它在 1 + a'(x0) t = 0 的那一瞬爆掉。這只可能發生在 a'(x0) < 0 之處——也就是當你向右移動時，射出的速度遞減之處——而最早的這種相撞就是破裂時刻 t* = -1 / min over x0 of a'(x0)。對柏格斯方程 a = u，所以 a' = u0'，公式化簡為乾淨的 t* = -1 / min(u0')，取於初始斜率為負的那些點。
請注意這條公式不准你在哪裡作弊。若特徵速度處處非遞減——對所有 x0 皆有 a'(x0) 不小於零——分母永不為零，t* 為無窮，永遠不會形成震波。因此震波形成並非運氣不好；它是被、且只被特徵速度向下游遞減的那些區域所逼出。這就是「資料具壓縮性」精確而可檢驗的意思，它能預先告訴你某個初始剖面是否注定要破裂。
破裂之後：解必須重生
在 t* 時，微分方程 u_t + f(u)_x = 0 悄然失去意義，因為 u_x 在正在形成的跳躍處已不存在。但我們起初出發的那本積分帳簿，從一開始就不曾要求 u_x——它談的始終只是總量與通量，而它對不連續的 u 完全自在。因此越過這場災難的辦法，是退回那忠實的積分形式、只要求這一點。一個可以帶跳躍、卻仍在這經測試的、積分的意義下滿足守恆律的函數，就是一個弱解。
允許跳躍令人解脫，卻並非免費，接下來三份指南會詳述代價。積分記帳不允許新的前緣以任何它喜歡的速度行進：跨越跳躍的守恆固定了它的速度，這就是第三份指南的朗肯-雨貢尼奧條件。更糟的是，一旦允許跳躍，弱解竟然不唯一——好幾個不連續函數都能滿足那條律——因此第四份指南施加一條熵條件來篩選出唯一的物理解，而第五份指南把這些拼塊組裝成黎曼問題，並把答案讀成一個被消失黏性平滑過的特徵線相交極限。