你本得苦尋的修正，與你畫得出來的修正
你來到這裡時，最難的部分早已弄懂。從上一篇導讀你知道，一塊區域的 格林函數 G(x, y)，是當你在內部位置 y 戳一個單位點源時、在 x 處感受到的響應——但這個響應還被額外逼著要在邊界上消失，好讓它能勝任狄利克雷問題的差事。你把它拆成 G =（自由的基本解）減去一個 修正項 h，其中 h 自己在區域內部是調和的，並且被設計成沿著邊緣恰好抵消掉基本解。那個修正項正是全部的難處：它本身就是一個邊界值問題的解，而在一塊崎嶇的區域上，你並沒有它的公式。
鏡像法 是一個好消息：對於少數幾個完美對稱的區域，你不必把修正項解出來——你可以把它畫出來。修正項必須是區域內部的一個調和函數，且在邊界上與基本解吻合。哪裡能找到一個現成的調和函數呢？一個以某點為中心的基本解，除了那一點之外，處處都是調和的。所以在區域外一個精心選定的點，種下第二個點源——一個幻影、一個鏡像——其強度與位置使它在邊界上的場恰好等於真實源的場。在區域內部，這個幻影永不爆炸（它的奇點落在錯誤的一側），所以它正是你所需的調和修正項，免費奉上。
半空間：牆後的一面鏡子
取最乾淨的情形：上半平面，每個高度大於零的點，以 x 軸為牆。在牆上方高度 a > 0 的一點 y 放一個真實的單位源。它輻射出的自由空間基本解，在二維中是對數位勢，越靠近源越往負方向增長。若放著不管，這個場在牆上不為零——所以它還不是格林函數。現在做這幅圖所暗示的唯一一件事：把 y 直直地向下反射過牆，到它的鏡像點 y*，水平位置相同、但高度是負 a，並在那裡放一個相反符號的源。
為什麼這就把它釘死了？牆上的任何一點，依其構造，到 y 的距離都與到它的鏡像 y* 的距離相等——牆正是到一點及其反射等距的那組點。真實源貢獻的場只依賴於那個距離；鏡像貢獻的是相同大小、帶一個負號的場。大小相等、符號相反，在牆上相加：恰好為零。於是源減鏡像的合成場，沿整條 x 軸都為零，自動滿足了狄利克雷條件。而鏡像的奇點落在高度負 a，安穩地落在上半平面之外，所以在我們的區域內部，這道修正是完美調和的。那個源減鏡像的場，就是半空間的格林函數。
Upper half-plane, wall = x-axis, real source at y = (b, a), a > 0
real source (+) at y = (b, a)
image source (-) at y* = (b, -a) <-- reflect across wall, flip sign
G(x,y) = Phi(x - y) - Phi(x - y*)
^free soln ^the corrector, drawn not solved
on the wall: |x - y| = |x - y*| ==> G = 0 automatically
Neumann variant: use the SAME sign image (+), giving zero normal slope.請留意上面草圖最後一行裡那個微小卻真實的分別。對於狄利克雷問題，你翻轉鏡像的符號，好讓值在牆上抵消。對於諾伊曼問題，你要的是法向斜率消失，稍一推敲對稱性便知，你必須改用一個相同符號的鏡像——這樣場便平緩地越過牆，向外導數為零，是一條絕熱邊界。你在拉普拉斯那一級遇見的兩個邊界條件，正是決定你的幻影是鏡像孿生還是反孿生的那件事。這與你在波的反射中、在固定端對自由端所見的奇對偶反射邏輯，是同一回事。
球：一面還會縮放的鏡子
平牆之所以是容易的鏡子，是因為那裡的反射是剛性的——距離被保持，所以一個等量相反的鏡像便能完美抵消。球面則是那個令人意外的情形，也是這個方法真正掙得它身價之處。在半徑 R 的球內一點 y 放一個真實源。自然的猜測是把 y 越過球面反射，但在彎曲曲面上的反射不是剛性的：正確的映射是反演，把 y 送到從中心出發的同一條射線上、距離為 R^2 除以 |y| 的點 y*，於是靠近中心的源把它的鏡像拋得遠遠的，反之亦然。關鍵在於，這個鏡像不再是單位強度——你還必須把它的電荷重新縮放。
這裡有個讓反演成為正確鏡子的小小魔法。對於球面上一點 P，兩個三角形（中心、y、P）與（中心、P、y*）共享中心處的那個角，又因為依其構造 |中心到 y| 乘以 |中心到 y*| 等於 R^2，那兩個三角形是相似的。相似三角形意味著距離之比 |P - y| 除以 |P - y*|，對球面上每一個點 P 都是同一個常數——也就是 |y| 除以 R。所以若你把鏡像電荷恰好按 R 除以 |y| 這個倍數縮放，真實場與鏡像場便在整個球面上大小相等，配上相反的符號就抵消了。球的狄利克雷格林函數，就是真實源減去那個被縮放、被反演的鏡像。反演是平面反射在彎曲空間裡的表親。
時間中的鏡像：半直線上的熱方程
這把戲不限於拉普拉斯。同一個反射的念頭，馴服了半直線上的 熱方程 u_t = k u_xx，譬如 x > 0、且端點在所有時刻都被保持在零溫。對於在位置 a 釋放的一點熱量，其自由響應是 熱核，一個以 a 為中心、向外鋪展的高斯隆起。若放著不管，它會把邊界點 x = 0 加熱，違反那裡的條件。於是反射：想像一個幻影的冷尖峰——一個負的熱核——在鏡像位置負 a、在禁區那一側 x < 0 釋放。
當兩個隆起都鋪展開來並重疊時，牆 x = 0 處發生了什麼？由對稱性，來自 a 的暖隆起與來自負 a 的冷隆起，在中點 x = 0 處永遠大小相等、符號相反，對每一個時刻皆然。它們在那裡的和永遠是零，所以邊界一直被夾在零溫，而你從不需親自去強加它——對稱性替你按住了邊界。在區域 x > 0 中的解，不過就是那兩個熱核的差。把初始資料越過牆做奇反射，給出狄利克雷（零值）邊界；做偶反射、配一個同號的暖鏡像，則給出諾伊曼（絕熱）邊界。
對侷限要誠實以告，因為它們要緊。鏡像法只對能反射回自身的幾何乾淨地奏效：半直線、整條直線、一段區間（在那裡你要在兩面牆上無止盡地反射，生成一列無窮的鏡像——那個無窮和正是傅立葉正弦級數誕生的一種方式）。熱方程那無限速度的平滑化並不破壞這個方法；真實隆起與鏡像隆起都是光滑的，其差仍是一個道地的解。但在這些情境的任何一個裡，你都不能把這個構造在時間上往回跑、去從現在還原一段過去——擴散是不可逆的，再巧妙的鏡像擺放也修不好一個不適定的逆向問題。
鏡像能買到什麼，又在哪裡止步
退後一步，看看你得到了什麼。鏡像法是一種只用一把尺與一條符號約定，就能構造出精確格林函數的辦法——沒有無窮級數、沒有要算的積分、不必去解一個輔助的邊界值問題。當幾何願意配合時，你在上一篇導讀裡費盡心力的那個修正項，就化成了源的單一一個被反射、或許被縮放過的副本。而它橫貫各大算子地通行：拉普拉斯算子給出牆與球面上的位勢論鏡像，熱方程給出在空間中、對所有時間都持續存在的鏡像，連波動方程也以同樣的方式把脈衝反射出邊界，送回一道翻轉的回聲。
- 辨明邊界與源。釘住區域、它的邊界在哪，以及你要響應的內部源點 y。
- 找出把區域映到其補集的那個反射——越過平牆是普通反射；越過球面是反演到 R^2 除以 |y|。
- 在反射後的點放上鏡像源，若鏡子是彎的便重新縮放其強度（球需要 R 除以 |y| 這個倍數）。
- 選定符號：狄利克雷取相反（值在邊界上抵消），諾伊曼取相同（法向斜率抵消）。把真實源加鏡像源相加——那就是 G。
但要守住關於適用範圍的誠實底線。整座大廈建立在一個把區域與其外部對調的反射對稱之上，而大多數區域根本沒有——一個橢圓、一間 L 形的房間、一塊腎形的團塊，都不容許精確的鏡像。對於那些，你退回到一般理論：數值求解，或把格林函數用本徵函數展開，或動用那套從鏡像確能解出的少數情形所建造起來的積分公式機器。所以把這個方法當作一組珍貴的、可精確求解的地標——半空間、平板、球、帶恰當角度的楔形——而非一套普適的演算法。它真正的價值一半在計算、一半在觀念：它用一幅圖向你展示，對一個格林函數而言，一個邊界究竟是什麼——是一面鏡子。