邊界值問題的格林函數

從空曠空間走進一間有牆的房間

你來到這裡時，手裡已經握著兩個想法。從本學習階梯的第一篇導讀，你懂得對點源的響應這幅圖像——撥動介質中的某一點，看它如何在別處處處回應。從第二篇你懂得 基本解：當源是一個 狄拉克δ函數、而周遭空無一物時——沒有牆、只有延伸至無窮的空曠空間——所得到的那個精確響應。對平面上的拉普拉斯算子而言，那個響應是對數位勢，在三維裡則是點電荷那個熟悉的 1/(4*pi*r)。這些是最乾淨不過的答案——正因為它們完全無視了邊界。

真實的問題很少安放在空曠空間裡。你想要的是一片金屬板內部的穩態溫度、一個接地金屬箱內部的電位、一張被夾在邊框上的鼓面的位移。這裡有一個邊界，而你沿著它釘下資料——譬如邊緣上 u = 0，也就是你在拉普拉斯那一級遇過的狄利克雷問題。一個赤裸的基本解並不會服從那個邊界條件；放在某個內部點上的對數位勢，在邊緣外頭肯定不是零。所以本篇導讀的問題說起來簡單、答起來卻豐富：我們要如何造出一個既是對點源的響應、又尊重牆壁的東西？

配方：基本解加上一個修正項

整個構造一步就講完。在區域 D 內固定一個源點 y，把 格林函數 G(x, y) 寫成兩塊：自由空間的基本解 Phi(x, y)，它已經把 x = y 處的奇異性弄得分毫不差，再加上一個 邊界修正項 h(x, y)，它在 D 內部完全光滑且調和——自身不帶任何源。修正項唯一的任務，就是把總和在邊界上掰到零，抵消掉基本解恰好留在那裡的任何值。把它們加起來，這個和就在內部有正確的點源、在邊緣上有正確的值。

G(x, y) = Phi(x, y) + h(x, y)

  Phi(x, y) : free-space fundamental solution
              Laplacian Phi = delta at x = y   (carries the singularity)

  h(x, y)   : the boundary corrector
              Laplacian h = 0 inside D          (no source of its own)
              h(x, y) = -Phi(x, y) on boundary  (cancels Phi at the wall)

  ==>  Laplacian_x G = delta(x - y) in D,   G = 0 on boundary

格林函數＝正確的點源（Phi）＋一塊無源的調和補片（h），後者經挑選使總和在牆上歸零。

留意這悄悄要求了什麼。找出 h 意味著要解一個正是拉普拉斯那一級裡那種狄利克雷問題：在 D 內找一個調和函數，其邊界值是被指定好的（這裡是基本解在邊界上的值取負）。所以構造格林函數並非免費——它跟解一個邊界值問題一樣難。這聽起來像是兜圈子，某種意義上確實如此，但回報極為龐大：一旦你握有某區域的 G，你就能對每一個右端項與每一組邊界資料一次解出那個邊界值問題，只要對它作積分即可。邊界值的代價你只付一次，答案卻能永遠重複使用。

把修正項從物理上讀一遍會有幫助。想像一個點電荷坐在接地金屬箱內部的 y 處。光是這個電荷，就會把牆上的電位推到非零的值，但一個接地的導體，其表面處處必須維持在零電位。於是電荷在牆上重新分佈，直到外部的場被抵消為止——而那個重新分佈正正就是修正項 h。它是邊界對點源所做出的感應響應。下一篇導讀，鏡像法，將揭示一個出奇簡單的辦法：對特殊的幾何形狀，藉由想像一個位於區域外的幻影電荷來造出 h。

對稱性：源點與觀測點可以對調

現在來到格林函數最美的事實，而證明它幾乎不費分文。格林函數是對稱的：G(x, y) = G(y, x)。用白話說，把單位源種在 y 而在 x 處感受到的響應，恰恰等於把同一個源種在 x 而在 y 處感受到的響應。這就是互易性原理，而它確實出人意表——一塊圍繞著源點 y 建起來的區域，沒有什麼明顯的理由反過來也應有相同的感受。然而對於像拉普拉斯算子那樣的對稱（自伴）算子而言，它永遠成立。

證明是 格林恆等式 的一頁應用，正是你已經見過的那套分部積分機制。對兩個函數 u = G(x, a) 與 v = G(x, b) 取格林第二恆等式，在 D 上積分，內部項便塌縮掉，因為每個 G 在遠離自身源處都是調和的；δ奇異性恰好挑出 G(b, a) 與 G(a, b) 這兩個值；而邊界項則歸零，因為兩個函數依構造都在邊界上為零。剩下的就是 G(b, a) = G(a, b)。這個對稱性是從算子的自伴性繼承而來——換成一個非自伴的算子，你就必須改用伴隨問題的格林函數來與 G 配對。

為什麼這值得費這番工夫：表示公式

這整套機制，靠一條主公式來回本。一旦你握有某區域的 G，那個邊界值問題——在 D 內 Laplacian u = -f，邊界上 u = g——的解就被明確地寫了下來：u 在任一點 y 的值，是源 f 對 G 的一個積分，加上邊界資料 g 對 G 沿邊界的法向導數的一個積分。這就是表示公式。它把「解這條偏微分方程」這個動詞，換成了「做兩個積分」這個名詞，而幾何的全部難處，都一勞永逸地打包進了 G 裡。

仔細看，這兩個積分各自講著一個物理故事。對 f 的體積分是疊加原理的現場演出——把分佈的源 f 剁成一群微小的點源，用 G 回應每一個（之所以被允許，正因為算子是線性的，也就是你一路倚靠至今的疊加原理），再把這些響應加總起來。邊界積分則是那組被指定的邊緣資料 g 如何把它的影響滲進內部。當 f = 0 時，你便回到了純粹的狄利克雷問題，公式縮減成只剩邊界項——而它在圓盤上不是別的，正是你早已遇過的帕松積分公式，如今揭曉它原來是一個偽裝過的格林函數計算。

有一個誠實的限制要往前帶。格林函數是線性方程的一場凱旋，因為整座大廈都建在疊加原理之上——你之所以能把源剁成點，純粹是因為響應可以相加。一旦方程是非線性的，這一切便崩塌：柏格斯方程或那維-斯托克斯方程沒有格林函數，因為把源加倍並不會把響應加倍。而即使在線性的世界裡，明確的封閉形式 G 也只存在於特殊、對稱的幾何上——半空間、球、平板。對於一塊一般而崎嶇的區域，G 當然存在，卻通常沒有公式，你得用數值方法算它。下一篇導讀將展示那些令人愉快的例外：一個幻影「鏡像」源讓你一眼就讀出 G。

一個小小例題：半直線

把一切剝到一維，看這配方從頭跑到尾。在半直線 x > 0 上工作，邊界條件是在唯一的牆 x = 0 處 G = 0，並在某點 y > 0 放一個單位源。一維裡 -G_xx = delta 的自由空間基本解，是簡單的帳篷形 Phi(x, y) = -|x - y|/2——一個在源處向下的尖角。它本身在牆上並不為零：在 x = 0 處它等於 -y/2。所以我們需要一個修正項 h，它無源（這裡只是 x 的線性函數，因為線性函數滿足 h_xx = 0），並抵消牆上那個殘餘的值。

寫下試解 G(x, y) = -|x - y|/2 + h(x, y)，其中 h 調和（此處為 x 的線性函數），使源恰好維持在 x = y 處原來的δ函數。
施加牆上的條件 x = 0 處 G = 0：這逼得 h(0, y) = +y/2，以抵消基本解在那裡的值 -y/2。
辦到這件事的、乾淨的無源選擇是 h(x, y) = +|x + y|/2，它不過是把一個相等的源反射到牆外鏡像點 -y 處所得的基本解。
合併：G(x, y) = (|x + y| - |x - y|)/2。驗證它——在 x = 0 處兩項相等而 G = 0，且你可以直接驗證 G(x, y) = G(y, x)。

這裡有兩件事值得細細品味。第一，對稱性 G(x, y) = G(y, x) 在最終公式裡一目了然——把 x 與 y 對調，兩個絕對值不過互換了名字——所以互易性通過了它自己的檢驗，正如所承諾的。第二，修正項原來是一個放在源跨過牆後、位於 -y 處鏡像上的基本解。這絕非偶然；它正是 鏡像法 的全部精髓：一個被巧妙安置在區域外的幻影源，自動地強制滿足邊界條件。半直線只是熱身。下一篇導讀會把這招放到半空間與球上去施展。